Integral y derivado de $\lfloor x\rfloor$ y $x - \lfloor x\rfloor$

Question

He asumido siempre por la gráfica de inspección que

$\int (x - \lfloor x\rfloor)\mathrm dx = \dfrac{(x - \lfloor x\rfloor)^2 + \lfloor x\rfloor}{2}$ (W|A) y

$\int \lfloor x\rfloor\mathrm dx = x\lfloor x\rfloor - \dfrac{\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor + 1)}{2}$ (W|A)

¿Por qué Wolfram|Alpha decir para cada integral, "el resultado no se encuentra en condiciones estándar de funciones matemáticas"?

También asumí que $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \lfloor x \rfloor = 0$, sin embargo, de acuerdo a Wolfram|Alpha $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \lfloor x \rfloor = \mathop {\rm floor}'(x)$—que no es que no se explica, pero el gráfico se ve muy extraño. ¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Permítanme comenzar con la última pregunta. $\lfloor x\rfloor$ es una pieza de sabios constante. Es no es diferenciable en a $x \in \mathbb{Z}$, que es la razón W|da Floor'[x] de una respuesta. Floor'[x] es una forma corta para Derivative[1][Floor][x], es decir, derivado permanece sin evaluar de acuerdo con Mathematica's de los principios de evaluación.

Cuando W|A dice que la integral no puede expresarse en términos de función conocida, significa que Integrate podría no proporcionar una solución para su integral.

Las expresiones que escribió son los correctos para una integral definida, es decir, $$ \int_0^x \left( y - \lfloor y \rfloor \right) \mathrm{d} y = \frac{1}{2} \left( \left( x - \lfloor x \rfloor \right)^2 + \lfloor x \rfloor \right) $$ al hacerlo, completamente arreglado un aditivo piece-wise constante, ortherwise usted debe escribir $ \int \left( x - \lfloor x \rfloor \right) \mathrm{d} x = \frac{x^2}{2} - x \lfloor x \rfloor + C$.