$PSL(3,4)$ no tiene ningún elemento de orden $15$

Question

$PSL(3,4)$ no tiene ningún elemento de orden $15$. Así es no isomorfo a $A_8$.

Aquí, $PSL(3,4)$ denota el $3 \times 3$ proyectiva lineal grupo especial en el campo con elementos de $4$.

Como listado de todos los elementos se lleva demasiado trabajo, hay alguna forma mejor de demostrar que no es ningún elemento de orden $15$ $PSL(3,4)$?

Muchas gracias.

Answer 1

La división de campo de la trivial representaciones irreducibles del grupo cíclico de orden 5 en el campo de $F_4$ 4 $F_{16}$, por lo que todas estas representaciones tienen un grado más de 2 $F_4$.

Así (usando el Teorema de Maschke), un trivial representación de un grupo de la orden de 5 de grado 3 $F_4$ debe ser la suma directa de un trivial irreductible de la dimensión 2 y el trivial módulo.

El centralizador de la imagen de esta representación en ${\rm GL}_3(4)$ debe fijar las dos de estos irreductible de los mandantes. El centralizador de la constituyente, en ${\rm GL}_2(4)$ es cíclico de orden 15, y el centralizador de la trivial constituyente es sólo el escalar de matrices - es decir cíclico de orden 3. Por lo que el total centralizador en ${\rm GL}_3(4)$ tiene orden de 45.

Dado que no todos los elementos de este centralizador tiene determinante 1, su intersección con la a ${\rm SL}_3(4)$ tiene orden de 15. Ya que contiene el escalar de matrices en ${\rm SL}_3(4)$, se deduce que todos los elementos de la orden de 15 ${\rm SL}_3(4)$ en la quinta potencia igual a una matriz escalar, y por lo ${\rm PSL}_3(4)$ no tiene ningún elemento de orden 15.

Yo sólo he notado que tengo asumido que el inverso de la imagen en ${\rm SL}_3(4)$ de un elemento de orden 15 en ${\rm PSL}_3(4)$ centraliza un elemento de orden 5, pero voy a dejar a usted para mostrar que.