Bueno, cuando trabajamos con un colector liso $M$ que podemos asociar con cada punto $p \in M$ un espacio vectorial $T_p M$ de todos los vectores en $p$ tangente a $M$ Este es el espacio de las funciones lineales que obedecen a la regla de Liebniz en el álgebra de los gérmenes de las funciones en $p$ .
Esta definición de vector es muy intuitiva, ya que generaliza la principal propiedad de los vectores en $ \mathbb {R}^n$ de producir el derivado direccional. Ahora, entonces solemos decir: "bueno, debemos encontrar una manera de ensamblar todos los espacios tangentes juntos para tener un dominio y rango para la derivada", entonces definimos $TM$ como la unión desunida de todos $T_p M$ y si $ \pi : TM \to M$ es la proyección en la primera coordenada, queremos construir un paquete vectorial $ \pi : TM \to M$ .
Lo que no me parece claro es por qué queremos la estructura de un paquete vectorial. La definición de un paquete de fibras está pensada, según entiendo, para hacer un espacio que localmente parezca un espacio de producto, pero ¿por qué queremos esto? ¿Esto es porque $T \mathbb {R}^n = \mathbb {R}^n \times \mathbb {R}^n$ y queremos "copiar" este comportamiento localmente?
Además, ¿cómo sabemos que hay una obstrucción en general para escribir $TM = M \times \mathbb {R}^n$ ? He visto una pregunta como esta antes aquí y había respuestas basadas en el teorema de la bola peluda y así sucesivamente. El punto es que este resultado necesita que primero definamos $TM$ como se define. Si no conocemos ninguno de estos teoremas, ¿cómo sabemos que la escritura $TM$ de esa manera no es posible?
¡Muchas gracias de antemano por la ayuda!
