Me pregunto si hay alguna diferencia entre mapeo y función. Alguien me dijo que la única diferencia es que el mapeo puede ser de cualquier conjunto a cualquier conjunto, pero la función debe ser de $\mathbb R$ a $\mathbb R$. Pero no estoy de acuerdo con esta respuesta. Necesito una forma simple de explicar las diferencias entre mapeo y función a una persona común junto con alguna ilustración (si es posible).
Gracias por cualquier ayuda.
Temo que la persona que te dijo eso estaba equivocada. No hay diferencia entre un mapeo y una función, simplemente son términos diferentes utilizados para referirse al mismo objeto matemático. Generalmente, yo uso "mapeo" cuando quiero enfatizar que estoy hablando de emparejar elementos en un conjunto con elementos en otro conjunto, y "función" cuando quiero enfatizar que lo que estoy hablando toma una entrada y devuelve una salida. Sin embargo, eso es solo una preferencia personal y no hay una convención de la que tenga conocimiento.
Mapear desde cualquier conjunto a $\mathbb C$ o $\mathbb R$ es una función. ¿Qué puedes decir al respecto?
Pero ¿por qué Serge Lang dice: Una función es un tipo especial de mapeo, es decir, es un mapeo de un conjunto en el conjunto de números, es decir, en $\mathbb{R}$, o $\mathbb{C}$, o en un campo $K$. (Serge Lang, Álgebra Lineal, página: 43)
Aunque en la mayoría de los casos, las palabras función y mapeo se pueden usar indistintamente, en varias partes de las matemáticas hay diferencias de énfasis, especialmente en análisis y geometría diferencial. Puedo pensar en dos.
Primero, especialmente en geometría diferencial, "mapeo" es la palabra universal, y se usa la palabra "función" para los mapeos que se asignan a $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Por lo tanto, un mapeo que se asigna a $\mathbb{R}^n$ por ejemplo no se llamaría una función. Esta convención no siempre se cumple (puede que ocasionalmente leas sobre "funciones vectoriales"), pero esta es la interpretación usual.
Segundo, especialmente en análisis, no es raro llamar a los miembros de $L^p$ "funciones", aunque en realidad son clases de equivalencia de mapeos. Nuevamente, la idea es que las funciones deben asignar números a algunos objetos (por ejemplo, puntos en algún espacio) en un sentido adecuado. Por lo tanto, las funciones se consideran objetos estudiados en análisis, mientras que "mapeo" se considera un término de teoría de conjuntos.
Por eso es que llamamos a un mapa a $\mathbb R$ o $\mathbb C$ FUNCIONAL en análisis funcional.
@Hassan: No exactamente. Normalmente, una función se refiere a un mapeo con un espacio de funciones como su dominio y $\Bbb R$ o $\Bbb C$ como su rango.
@PatrickDaSilva: en realidad, en el contexto del análisis, suelo ver que una funcional significa una función lineal en el campo escalar, a menudo se sobreentiende que es continua. El significado al que te refieres, lo he encontrado en el contexto de ecuaciones diferenciales y cosas más relacionadas que el análisis general.
John M. Lee, Introducción a las variedades suaves, 2002:
Aunque los términos función y mapa son técnicamente sinónimos, al estudiar las variedades suaves a menudo es conveniente hacer una ligera distinción entre ellos. A lo largo de este libro generalmente reservamos el término función para un mapa cuyo recorrido es $\mathbb{R}$ (una función con valores reales) o $\mathbb{R}^k$ para algún $k > 1$ (una función con valores vectoriales). La palabra mapa o mapeo puede significar cualquier tipo de mapa, como un mapa entre variedades arbitrarias.
No hay tanta diferencia a la larga. Cuando uso la palabra función, generalmente me refiero a que un punto se asigna a un solo punto. Entonces, si un punto puede asignarse a varios puntos, no voy a usar esa palabra, es más probable que use asignación o transformación. En un artículo reciente tuve uno de estos casos, cada punto iba a varios puntos, y cada punto en la imagen probablemente tenía varios preimágenes, así que enfaticé, en una frase tradicional, que la asignación era "muchos a muchos". Ahora bien, tanto la preimagen como la imagen eran clases de equivalencia bajo una equivalencia más débil, por lo que la asignación indujo una función de "género" a "género", pero no estaba bien definida en el nivel de clases de isometría de formas cuadráticas.
De todos modos, si un punto va solo a un punto, se permite llamarlo función.
EDITAR: Veo que has terminado la universidad y solo estás preguntando sobre preferencias. Tengo que pensar en la popularidad en inglés... La función se usa para $\mathbb C \mapsto \mathbb C,$ también para asignaciones desde cualquier variedad suave a los reales. Podría usar función para casi cualquier asignación a $\mathbb R^n$ desde casi cualquier cosa, pero sería menos probable que use función para una asignación entre dos otras variedades. Variados tipos de asignaciones en álgebra es poco probable que se llamen función.
Si te entiendo bien, ¿en un mapeo un elemento del dominio puede ser asignado a dos o más elementos en el co-dominio?
@HassanMuhammad sí, eso es absolutamente correcto, lo hace en mi papel. Pero luego, a veces en matemáticas, cambiamos a clases de equivalencia, así que de lo que estamos hablando también cambia. Supongamos que tienes un grupo $G$ con un subgrupo normal $H$. Hay un mapeo que lleva cualquier elemento $a \in G$ a todos los elementos $ah, \; \mbox{para} \; h \; \in H$. En este nivel es uno a muchos. Pero luego definimos el grupo cociente $G/H,$ y de repente tenemos la función $a \mapsto aH.$
De la página 216 de Mathematical Proofs por Gary Chartrand:
Por una función f de A a B, escrita f: A → B, nos referimos a una relación de A a B con la propiedad de que cada elemento a en A es la primera coordenada de exactamente un par ordenado en f. ...
Si (a, b) ∈ f, entonces escribimos b = f(a) y nos referimos a b como la imagen de a. A veces se dice que f mapea a en b. De hecho, a f misma a veces se le llama una aplicación.
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He añadido la etiqueta de terminología.
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En algún lugar leí que munción es un acrónimo de mapping y function, aunque no puedo encontrar ninguna referencia en línea.