¿Cómo podría encontrar números x tales que x y 1/x sean finitamente decimales recíprocos y que además sean cercanos a 1?
No estoy del todo seguro de cómo formular esta pregunta, pero tomemos como ejemplo la 2. 2 y 1/2 se pueden representar con un número finito de decimales.
El par más cercano al 1 que he encontrado es el 4/5 y el 5/4. Hay pares más cercanos y cómo podría buscarlos?
Los únicos números racionales que tienen representaciones decimales finitas son aquellos cuyo denominador sólo tiene $2$ y $5$ como sus factores primos. (porque si $z$ tiene una expansión decimal finita, entonces $y=10^k z$ es un número entero para algún número entero positivo $k$ y por lo tanto $z = y/10^k$ )
Así, los pares que se buscan son todos de la forma $2^m / 5^n$ y $5^n / 2^m$ .
Para ver cuándo se acercan a 1, es más fácil convertirlo en un problema aditivo tomando logaritmos: quieres
$$ m \ln 2 - n \ln 5 \sim 0 $$
Reordenando, queremos
$$ \frac{m}{n} \sim \frac{\ln 5}{\ln 2} $$
por lo que el problema es encontrar muy buenas aproximaciones racionales a $\ln 5 / \ln 2$ .
Las primeras aproximaciones dadas por fracciones continuas es:
Lo que necesitas es un poder de $2$ y un poder de $5$ que están muy juntos. Su ejemplo tiene $4=2^2$ y $5=5^1$ .
Dado que las potencias de $2$ son un múltiplo de $2$ aparte, siempre puedes ponerte entre $\frac 12$ y $2$ .
Sin embargo, para obtener los mejores resultados, queremos $5^n=k2^m$ donde $k$ está cerca de $1$ .
Tomando los registros tenemos $n\log 5 = \log k + m\log 2$ y como $k$ está cerca de $1$ tenemos $\log k$ cercano a cero, y vemos que $$\frac nm\approx\frac{\log 2}{\log 5}$$ y la mejor manera de acercarse es utilizar la expansión continua de la fracción de $\frac{\log 2}{\log 5}$ .
Como comentario "ampliado", añadiendo a los posts anteriores, tenemos $$\frac{\ln 2}{\ln 5}\approx 0.43067655807339306$$
Las primeras "mejores aproximaciones" para ese decimal son (investigar el árbol de Stern-Brocot) $$[(2, 5, 0.4), (3, 7, 0.42857142857142855), (34, 79, 0.43037974683544306), (31, 72, 0.4305555555555556), (205, 476, 0.43067226890756305), (497, 1154, 0.4306759098786828), (643, 1493, 0.4306764902880107), (4647, 10790, 0.4306765523632993), (21306, 49471, 0.43067655798346505), (21306, 49471, 0.43067655798346505), (97879, 227268, 0.4306765580724079), (1740516, 4041353, 0.4306765580734967), (2034153, 4723157, 0.4306765580733395), (1936274, 4495889, 0.4306765580733866), (15392313, 35739844, 0.43067655807339283), (59632978, 138463487, 0.430676558073393)]$$ donde los pares son $(m,n,\text{decimal})$ para $5^m,2^n$ .
Y he roto mi ordenador intentando calcular el último decimal, así que volveré con las salidas de esos números...
Algunos resultados son $${5^{205}\over 2^{476}}=0.9967194951\dots$$ y $${5^{59632978}\over 2^{138463487}}=0.9999999850988389 \dots$$
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