Construir un Hamiltoniano (como un polinomio de $q_i$ y $p_i$ ) de su espectro

Question

Para una secuencia contable de números positivos $S=\{\lambda_i\}_{i\in N}$ ¿existe una construcción que produzca un hamiltoniano con espectro $S$ (o al menos que tengan los mismos valores propios para $i\leq s$ para algunos $s$ )?

Aquí por "hamiltoniano" entiendo un polinomio de $p_i$ y $q_i$ (o, por el contrario, - $a_i$ y $a_i^\dagger$ ) de $k$ pares de variables y de orden $2n$ . Ambos $k$ y $n$ pueden ser funciones de $S$ y $s$ .

Por ejemplo, para el espectro $$S =\{3,5,7,9,\ldots\}$$ uno de los hamiltonianos que trabajan para cualquier $s$ es $$H = 3+a^\dagger a.$$

Answer 1

Ya se mencionó en un comentario anterior sobre un tema en physics.SE, que puede estar relacionado con el problema de dispersión inversa. Sólo puedo añadir, que hay un método preciso de construcción del operador de Shroedinger $p^2 + V(q)$ con espectro finito arbitrario para el caso unidimensional. Está muy bien desarrollado debido a la aplicación a la teoría de solitones. Los operadores polinómicos $V(q)$ tienen algunos problemas debido a los infinitos para $q \to \pm \infty$ pero para $V(q)$ con rápida convergencia a cero hay cientos de trabajos. Una construcción especialmente sencilla puede encontrarse, por ejemplo, en M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM, Philadelphia, 1981.

La idea, que si tienes algo de $L_1 = p^2 + u(q)$ con un espectro dado, existe un método elegante para añadir otro valor propio $\zeta$ . Debería considerar la ecuación $L_1 g = \zeta g$ , encontrar la solución $g(q)$ . Entonces $L_2 = p^2 + u + 2 (\ln (g))''$ guarda todos los valores propios de $L_1$ pero también tiene un nuevo valor propio $\zeta$ con la función propia $1/g(q)$ . Así que puede empezar con $u=0$ y añadir los valores propios uno tras otro.

Sin embargo, como mencioné aquí hay un problema con el caso polinómico, es unidimensional y puede ser lo único útil es la idea de buscar el truco como $g \to 1/g$ con la adición de valores propios...

[ADD] (1). Creo que también es posible considerar los productos $L_k(q_k)$ etc. (2). No es único, por ejemplo, la deformación isoespectral de $L$ se describe mediante la ecuación de KdV (sin embargo, también se mencionó en una referencia en el hilo de Physics.SE)

Answer 2

Aquí hay un nuevo artículo que puede estar relacionado con este problema, y que ha aparecido hoy en el archivo:

Recuperación del hamiltoniano a partir de datos espectrales

Cyrille Heriveaux, Thierry Paul

http://arxiv.org/abs/1202.5102

Answer 3

Parece que hay una forma simple de hacer esto para polinomios con grado finito $d$. Desde $a^\dagger a$ es el operador número, podemos tomar $a^\dagger a = N$ donde $N$ es el número de excitaciones correspondiente a un determinado nivel. Entonces, si el Hamiltoniano tiene la forma general de la $H = \sum_{k=0}^d c_k (a^\dagger a)^k$, la energía correspondiente a un estado en particular es $E_N = \sum_{k=0}^d c_k N^k$. Desde $N$ es constante para un determinado eigenstate de la Hamiltoniana, la ecuación de $E_N$ es sólo una ecuación lineal en las variables $\{c_k\}_k$. Ya que tienes el espectro, ha $E_N$, y por lo tanto se puede resolver utilizando Guassian eliminación (o lo que su técnica preferida es la de resolver sistemas de ecuaciones lineales). Incluso si el espectro es infinita, sólo necesitará $d+1$ ecuaciones para corregir los valores de $c_k$, por lo que este es un cálculo simple.