continuo lineal funcional en un espacio de Banach reflexivo alcanza su norma

Question

¿Cómo uno demostrar que si un $X$ es un espacio de Banach y $x^*$, un continuo lineal funcional de $X$ en el campo subyacente, entonces $x^*$ alcanza su norma $x$ $X$ y $\Vert x\Vert = 1$?

Mi profesor nos dio una sugerencia que debemos usar la instrucción que si $X$ es un espacio de Banach reflexivo, la bola de la unidad es débil secuencialmente compacto, pero no estoy seguro acerca de cómo construir una secuencia en esta pelota que no converge.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $\varphi \neq 0$. Que $x_n$ ser una secuencia en la esfera de unidad tal que $|\varphi(x_n)| \geq \lVert \varphi\| - \frac{1}{n}$ que existe en la definición de la norma del operador. Elegir un subsequence tal que $x_{n_k} \to x$ débil con $\|x\| \leq 1$ por compacidad secuencial débil de la bola de la unidad. Deducir que $|\varphi(x)| = \|\varphi\|$. Luego argumentan que $\|x\| = 1$.

Answer 2

Podemos utilizar un corolario de Hahn-Banach teorema, aplicado al espacio dual $X'$$X$. Tenemos $$\lVert x'\rVert=\max_{y\in X'',\lVert y\rVert=1}|y(x')|$$ (el máximo se alcanza para un $y_0$ que puede ser construido gracias a Hahn-Banach teorema). Para esto $y_0\in X''$, ya que el $X$ es reflexiva podemos encontrar $u\in X$ tal que $J(u)=y_0$ donde $J\colon X\to X''$ es la canónica de la incrustación. Por lo tanto, por definición, $J(u)(x')=x'(u)=y(x')$ $u$ (o $-u$) es tal que $|x(u)|=\sup_{\lVert v\rVert=1}|x(v)|$.

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Tenga en cuenta que no siga la sugerencia dada por el maestro. Tenga en cuenta que lo contrario es verdadero (si cada uno lineal continuo funcional alcanza su norma, el espacio de Banach es reflexiva). Es un resultado difícil, de James, creo.