En los límites de subsecuencias convergentes débilmente

Question

Deje $\{ f_n \}$ ser una secuencia en un espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R}^d)$. Podemos decir que esta secuencia converge débilmente a un elemento $f \in L^2$ si $\langle f_n, g \rangle \to \langle f,g \rangle$ por cada $g \in L^2$ (donde $\langle \cdot,\cdot \rangle$ denota el producto interior en $L^2$). Por definición, nos da que el débil límite de $f$$L^2$.

Sin embargo, supongamos que sabemos que una secuencia de "formalmente" converge débilmente a un límite de $f$ ($\langle f_n, g \rangle \to \langle f,g \rangle$por cada $g \in L^2$ algunos $f$ que no necesariamente saben aún no se en $L^2$) .

Hace esto, simplemente por las características de la debilidad de la convergencia, directamente implica que $f \in L^2$?

Yo creo que también podría generalizar esta pregunta a cualquier espacio de Hilbert, a condición de que el producto interior de un elemento, posiblemente, no en el espacio de Hilbert tiene sentido.

Answer 1

Permítanme elaborar en user3148 la respuesta de comentario.

Hay dos hechos:

1. Una débil de Cauchy secuencia $(f_{n})$ está acotada.
2. Cada secuencia delimitada ha débilmente convergente larga.

La combinación de estos dos hechos es fácil ver que cada día más débil secuencia de Cauchy converge. Recordemos que una débil Cauchy secuencia es una secuencia $(f_{n})$ tal que $\langle f_{n}, g\rangle$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$ todos los $g$. La condición que imponen a la secuencia de $(f_{n})$ significa, en particular, que es un débil secuencia de Cauchy, por lo que necesariamente converge a algunos $f \in L^2$.

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La prueba de 1. De esta manera se sigue inmediatamente de la Banach-Steinhaus teorema aplicado a los operadores de $\langle f_{n}, \cdot \rangle: X^{\ast} \to \mathbb{R}$, ver Sokal el reciente trabajo de una casa a prueba de dicho teorema (sin Baire!).

La prueba de la 2. Este es inmediata a partir de la versión de Banach-Alaoğlu teorema diciendo que la unidad de la bola en un separables reflexiva espacio es compacto metrizable en la topología débil (= débiles$^{\ast}$-topología de la reflexividad).

Answer 2

Bueno, hay respuestas a este en diferentes niveles. Una respuesta es, que la norma en un espacio de Hilbert es siempre débilmente inferior semicontinuo el sentido de que para débilmente convergente secuencia $(f_n)$ sostiene que $$ \lim\inf \|f_n\| \geq \|w\lim f_n\|. $$

Otra respuesta es que debido al principio de acotamiento uniforme (o de Banach-Steinhaus-Teorema) cada débilmente convergente secuencia es limitada (ver aquí).