¿Cómo evaluar este producto infinito? (Número de Fibonacci)

Question

Dejemos que $F_n$ sean números de Fibonacci.

Cómo evaluar $$\prod_{n=2}^\infty \left(1-\frac{2}{F_{n+1}^2-F_{n-1}^2+1}\right)\text{ ?}$$

Parece que $$\prod_{n=2}^\infty \left(1-\frac{2}{F_{n+1}^2-F_{n-1}^2+1}\right)=\frac{1}{3}$$

Pero, ¿cómo demostrarlo?

Gracias por adelantado.

Answer 1

El producto es efectivamente igual a $\frac{1}{3}$ .

Podemos utilizar la fórmula de Binet, que establece que $$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n - \left(-\frac{1}{\phi}\right)^n\right)$$ para todos $n$ donde $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Podemos introducir esto directamente en el producto que queremos evaluar, pero nuestra vida se vuelve ligeramente más fácil si primero simplificamos $F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$ utilizando otros medios.

Observamos que la fórmula de adición de los números de Fibonacci nos dice que $$F_{m+n}=F_{m+1}F_n + F_{m}F_{n-1}$$ y que en particular $$F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})$$

Podemos entonces escribir $F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$ como $$F_{n+1}^2-F_{n-1}^2=(F_{n+1}-F_{n-1})(F_{n+1}+F_{n-1})=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})=F_{2n}$$ como señala Henning Makholm en los comentarios a la pregunta.

El producto se convierte entonces en $$\prod_{k=2}^\infty \frac{F_{2n}-1}{F_{2n}+1}$$

Utilizando la fórmula de Binet, los términos del producto se convierten en $$\frac{F_{2n}-1}{F_{2n}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^{2n}-\frac{1}{\phi^{2n}}\right)-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^{2n}-\frac{1}{\phi^{2n}}\right)+1}=\frac{\phi^{4n}-\sqrt{5}\phi^{2n}-1}{\phi^{4n}+\sqrt{5}\phi^{2n}-1}$$

Observando que $\phi^2-\frac{1}{\phi^2}=\sqrt{5}$ vemos que se puede factorizar como $$\frac{\left(\phi^{2n}-\phi^2\right)\left(\phi^{2n}+\phi^{-2}\right)}{\left(\phi^{2n}-\phi^{-2}\right)\left(\phi^{2n}+\phi^2\right)} = \frac{\left(\phi^{2n-2}-1\right)\left(\phi^{2n+2}+1\right)}{\left(\phi^{2n+2}-1\right)\left(\phi^{2n-2}+1\right)}=\frac{a_{n-1}b_{n+1}}{a_{n+1}b_{n-1}}$$ donde definimos $$a_n=\phi^{2n}-1$$ y $$b_n=\phi^{2n}+1$$

El producto se convierte entonces en $$\prod_{k=2}^\infty \frac{a_{k-1}b_{k+1}}{a_{k+1}b_{k-1}}$$ que telescópica, y vemos que el producto es igual a $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_1 a_2 b_n b_{n+1}}{a_n a_{n+1} b_1 b_2}$$

Es sencillo ver que $$\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n} = 1$$ para que el producto sea entonces igual al valor

$$\frac{a_1 a_2}{b_1 b_2}=\frac{(\phi^2-1)(\phi^4-1)}{(\phi^2+1)(\phi^4+1)}=\frac{(\phi^2-1)^2}{\phi^4+1}=\frac{\phi^2}{3\phi+2+1}=\frac{1}{3}$$ como se desee.

(Ya que $\phi^2=\phi+1$ y así $\phi^4=\phi^2+2\phi+1=3\phi+2$ )