Demostrar que $1<\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+\ldots+\frac{1}{3001}<\frac43$

Question

Demostrar que $$1<\dfrac{1}{1001}+\dfrac{1}{1002}+\dfrac{1}{1003}+\ldots+\dfrac{1}{3001}<\dfrac43 \, .$$

Mi trabajo:
$$\begin{eqnarray*} S&=&\bigg(\dfrac{1}{1001}+\dfrac{1}{3001}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{1002}+\dfrac{1}{3000}\bigg)+\ldots+\dfrac{1}{2001}\\ S&=&\dfrac{1}{4002}\bigg\{\bigg(\dfrac{1001+3001}{1001}+\dfrac{1001+3001}{3001}\bigg)+\ldots\bigg\}+\dfrac{1}{2001}\\ S&\ge& \dfrac{1}{4002}4\cdot1000+\dfrac{1}{2001}=1 \end{eqnarray*}$$

Yo podría derivar de la mano izquierda de la desigualdad con un $\ge$ signo, pero no podía hacer nada sobre la mano derecha de la desigualdad. Por favor, ayudar.

EDIT: no es necesario el uso de la igualdad de signo, que puede en lugar de utilizar sólo la desigualdad estricta debido a que existen términos que no son iguales, por lo que, el AM-HM desigualdad en realidad es una desigualdad estricta aquí.

$$S> \dfrac{1}{4002}4\cdot1000+\dfrac{1}{2001}=1$$

A pesar de que tengo la solución, pero estoy buscando un poco de no-cálculo de soluciones.

Answer 1

La suma de $ del #% de $$\log{k+1\over k}=\int_k^{k+1}{dx\over x}<{1\over k}<\int_{k-1}^k{dx\over x}=\log{k\over k-1}\qquad(k>1)\ .$% #% produce serie telescópica en la mano izquierda y mano derecha. Haciendo los cálculos se encuentra $k$ $ aquí el lado izquierdo es, obviamente, $$\log{3002\over1001}<S<\log{3001\over 1000}\ .$. Para la mano derecha lado observamos que $>1$ $ y esto muestra que el $$e^{4\over3}>1+{4\over3}+{(4/3)^2\over2}={29\over9}>{3001\over1000}\ ,$ $ actualización: el OP ha deseado un enfoque libre de cálculo. Para la estimación superior se podría argumentar lo siguiente: utilizando la división $$\log{3001\over 1000}<{4\over3}\ .$ $ se obtiene $$S=\sum_{k=1001}^{1350}{1\over k}+\sum_{k=1351}^{1800}{1\over k}+\sum_{k=1801}^{2400}{1\over k}+\sum_{k=2401}^{3000}{1\over k}+{1\over3001}$ $

Answer 2

Que $k$ sea un entero fijo superior al $0$.

Sostiene que el $\frac{1}{1000+k}\leq \frac{1}{1000+x}$ para cualquier $x \in [k-1,k]$.

Integración fijo $k \in [1,2001]$ $$\frac{1}{1000+k}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{1}{1000+x}dx$ $ los rendimientos ahí $$\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+\ldots+\frac{1}{3001} \leq \int_{0}^{2001}\frac{1}{1000+x}dx=\ln\left(\frac{3001}{1000}\right)$ $

Y $$\ln\left(\frac{3001}{1000}\right)\sim 1.1 < \frac{4}{3}$ $

Answer 3

Una solución sin utilizar cálculo:

Para el límite superior, nota enteros $1 \le k \le 1000$:

%#% $ de #% donde la igualdad es sólo cuando $$ \frac1{1000+k} + \frac1{3002-k} = \frac{4002}{(1000+k)(3002-k)}= \frac{4002}{4004001-(1001-k)^2} \le \frac{4002}{3004001}$.

$k=1$$

Para el límite inferior aquí es otra manera, usando $$\implies S = \sum_{k=1}^{1000} \left(\frac1{1000+k} + \frac1{3002-k} \right)+\frac1{2001} < \frac{4002}{3004001}\cdot 1000+\frac1{2001} = \frac{8011006001}{6011006001} < \frac43$ para los distintos números, conseguir %#% $ #%

$AM > HM$$

Answer 4

Más bien diría que por el AM-HM desigualdad tenemos: $$\sum_{k=1001}^{3001}\frac{1}{k}>\frac{2001^2}{\sum_{k=1001}^{3001}k}=1\tag{1}$$ y desde $\frac{1}{k}<-\log\left(1-\frac{1}{k}\right)=\log\frac{k}{k-1}$ tenemos: $$\sum_{k=1001}^{3001}\frac{1}{k}<\log\prod_{k=1001}^{3001}\frac{k}{k-1}=\log\frac{3001}{1000}<\log 3.\tag{2}$$ Ahora probando $\log 3<\frac{4}{3}$ es equivalente a probar que $e^4>27$. Desde $e>\frac{5}{2}$ (considerando los tres primeros términos de la serie de Taylor de la función exponencial en torno a cero, para istance), $e^4>39$, y estamos bien.

Aviso que por parciales de suma tenemos: $$\sum_{k=1001}^{3001}\frac{1}{k} = \frac{2001}{3001}+\sum_{k=1001}^{3000}\frac{k-1000}{k(k+1)}=\frac{2001}{3001}+\sum_{k=1}^{2000}\frac{k}{(k+1000)(k+1001)},$$ $$\sum_{k=1001}^{3001}\frac{1}{k} < \frac{2001}{3001}+\sum_{k=1}^{2000}\frac{k}{(k+1000)^2},\tag{3}$$ pero desde $f(x)=\frac{x}{(x+1000)^2}$ es una función cóncava en $I=[0,2000]$, por la desigualdad de Jensen (o, simplemente, porque $f(x)$ $I$ está limitada por su valor en $x=1000$, que es el único punto fijo en $I$) tenemos a la mejora de la cota superior:

$$\sum_{k=1001}^{3001}\frac{1}{k}<\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}.\tag{4}$$

Delimitación $f(x)$ entre la envolvente de tres tangentes (en $x=0,x=1000,x=2000$) y el sobre de dos secantes (de $x=0$ $x=1000$e de$x=1000$$x=2000$) conduce a la siguiente agudizado la desigualdad:

$$\frac{37}{36}<\sum_{k=1001}^{3001}\frac{1}{k}<\frac{9}{8}.\tag{5}$$