Interpretación de la notación "no igual"

Question

Esta será una pregunta corta. Dejemos que $x$ , $y$ , $z$ sean tres elementos de un conjunto cualquiera. Es lo siguiente:

$$x \ne y \ne z \tag{1}$$

Equivalente a:

$$x \ne y, ~ ~ y \ne z, ~ ~ z \ne x \tag{2}$$

O simplemente:

$$x \ne y, ~ ~ y \ne z \tag{3}$$

¿Está siquiera bien definido? Sé lo que $x = y = z$ implica, pero ¿qué pasa con la negación? Sé que podría usar $x \ne y \ne z \ne x$ para "asegurarme", pero me interesaba saber qué $(1)$ realmente significa.

Answer 1

Esto es más una convención personal que una respuesta real sobre lo que comúnmente significa (aunque estoy bastante seguro de que mi convención es la de otras personas también).

Dada una binario relación $\triangle$ en algún conjunto $X$ y $x_1,\ldots, x_n\in X$ para algunos $n\in \Bbb N$ Defino $$x_1\triangle x_2\triangle \cdots\triangle x_n$$ como $$(x_1\triangle x_2)\wedge\cdots \wedge (x_{n-1}\triangle x_n)$$

Según esta convención, $x\neq y\neq z$ debe leerse $x\neq y\, \wedge y\neq z$ .

Tenga en cuenta que $x=y=z$ equivale a $x=y\wedge y=z \wedge x=z$ sólo porque la igualdad es transitiva.

Answer 2

los dos primeros no son lo mismo

toma $x,y,z$ sean 1,2,1 respectivamente.

La primera y la tercera son equivalentes.

Si $x\neq y\neq z$ se utiliza para significar (2), es una mala notación. sería mejor decir simplemente 'x,y,z distintos' para significar (2)

Answer 3

Escribimos a menudo, por ejemplo $x \in y \in z$ como una taquigrafía familiar y aceptable para $x \in y \land y \in z$ . Esto demuestra que permitimos este tipo de colapso notacional para las proposiciones relacionales conjuntas incluso cuando la relación no es transitiva. (No leemos $x \in y \in z$ como implicando $x \in z$ .)

Podemos escribir de forma similar $x \ne y \ne z$ como abreviatura de $x \ne y \land y \ne z$ , de nuevo sin que ello implique que $x \ne z$ ? Se podría predecir, por paridad, que sí: sin embargo, no creo que sea una práctica habitual. ¿Por qué no? ¿Cuál es la diferencia? No lo sé.

Sin embargo, creo que he visto a gente como $x \ne y \ne z \ne w $ se utiliza como abreviatura local de la correspondiente simétrica $x \ne y \land x \ne z \land x \ne w \land y \ne z \land y \ne w \land z \ne w$ . ¡Pero yo no adoptaría esa taquigrafía sin decir lo que está haciendo!