¿Cómo se relaciona el hocolim con Hom?

Question

En una categoría habitual $\mathcal{C}$ se puede sacar el colim de la Hom así: $\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}\DeclareMathOperator{\colim}{colim}\DeclareMathOperator{\hocolim}{hocolim}\DeclareMathOperator{\Ho}{Ho}\DeclareMathOperator{\holim}{holim}$ $$\Hom\nolimits_\mathcal{C}(\colim A_i,B)=\lim \Hom\nolimits_\mathcal{C}(A_i,B)$$

Estoy buscando un enunciado correspondiente para los hocolims - digamos en conjuntos simpliciales, pero si hay enunciados más generales, mejor aún.

Por ejemplo, podría imaginar $$\Hom\nolimits_{\mathcal{C}}(\hocolim A_i,B)=\lim \Hom\nolimits_{\Ho(\mathcal{C})}(A_i,B)$$ - tal vez hay que tener $B$ fibrante y el cofibrante A_i aquí, es decir, que los Homs de la derecha son $\mathbb{R}Homs$ .

Utilizando el Hom interno en conjuntos simpliciales también podría imaginar versiones como ésta: $$\Hom(\colim A_i,B)=\holim \Hom(A_i,B)$$ $$\Hom(\colim A_i,B)=\holim \mathbb{R}\!\Hom(A_i,B)$$

¿Cuál es la declaración correcta y cuál es el lugar para aprender este hocolim-yoga?

Gracias. N.B.

Answer 1

Una fórmula como la que pides podría ser la siguiente (Bousfield-Kan, "Homotopy limits, completions and localizations", capítulo XII, proposición 4.1):

$$ \mathrm{hom}_* (\mathrm{hocolim}\ \mathbf{A}, B) \cong \mathrm{holim}\ \mathrm{hom}_* (\mathbf{A}, B) \ . $$

Aquí $B$ es un conjunto simplicial puntiagudo, $\mathbf{A} : I \longrightarrow \Delta^{\mathrm{o}}\mathbf{Set}_*$ un functor de una categoría pequeña $I$ a la categoría de conjuntos simpliciales puntuales, y para los conjuntos simpliciales puntuales $A, B$

$$ \mathrm{hom}_* (A,B) \in \Delta^{\mathrm{o}}\mathbf{Set}_* $$

es el espacio de función simplicial puntiagudo que $n$ -simples son los mapas en $\Delta^{\mathrm{o}}\mathbf{Set}_* $

$$ \left( \Delta [n] \times A \right) / \left( \Delta [n] \times * \right) \longrightarrow B $$

(op.cit., capítulo VIII, 4.8).

No he revisado los detalles, pero, si te molesta, me parece que puedes dejar lo de "puntiagudo" en todas partes simplemente borrando "puntiagudo", $*$ y $\Delta [n] \times * $ en lo que dice Bousfield-Kan.