Reflexión con respecto a una parábola

Question

Sé cómo encontrar una reflexión con respecto a uno de los ejes o con respecto al origen, pero digamos que quiero encontrar la reflexión con respecto a una parábola, ¿cómo lo hago? Digamos que tenemos la estándar $y = x^2$, en este caso cada punto necesita ser reflejado proyectándolos sobre la parábola al encontrar el punto cuya recta tangente en ese punto de la parábola y la recta desde el punto hasta la parábola son perpendiculares. Entonces, la reflexión sería el punto del otro lado. Entonces (0,1) va a (0,-1). ¿Hay una manera de encontrar una fórmula general?

Estoy pensando que ya que la parábola es $y = x^2$, debería poder mapear el eje y=0 a $y=x^2$, y entonces cualquier par de puntos (x,y) y (x,-y), simétricos con respecto al eje y, permanecerían simétricos con respecto a la parábola. ¿Pero cuál es este mapeo?

EDICIÓN: ¿Hay una mejor manera de definir esta reflexión considerando solo el semiplano x>0, y agregando la restricción de que los puntos reflejados aún deben estar en el semiplano x>0? De manera similar a cómo el área bajo el eje y=0 para x>0 se refleja en el área sobre y=0 y x>0 para una reflexión sobre el eje y=0, también me gustaría que la reflexión para el área x>0 bajo la parábola se refleje en un punto x>0 dentro de la parábola. Estoy buscando una deformación del plano que lleve la línea y=0 a la parábola y arrastre todos los puntos con ella. Los puntos simétricos después de la deformación deberían coincidir con los antes de la deformación.

Answer 1

El problema aquí es que las líneas normales (las líneas perpendiculares a las tangentes) a una parábola no son paralelas, como lo son para las líneas rectas.

Eso significa que un punto dado en el plano puede estar en más de una línea normal simultáneamente. La pregunta entonces es: ¿cuál línea normal se utiliza para reflejar?

La evoluta, es decir, el envolvente de líneas normales, es la clave aquí. En el caso de $y=x^2$, la evoluta está parametrizada por $x=4t^3$ y $y=3t^2+\frac{1}{2}$. Esta curva produce una cúspide. Los puntos "dentro" de la cúspide se encuentran en tres líneas normales diferentes. Los puntos fuera de la cúspide se encuentran en una sola línea normal. Los puntos en la cúspide se encuentran en dos líneas normales.

La siguiente imagen es de MathWorld y muestra líneas normales a una parábola. Observa cómo los puntos dentro de la cúspide se encuentran en tres normales, los puntos en la cúspide se encuentran en dos normales y los puntos fuera de la cúspide se encuentran en una normal.

Answer 2

Voy a añadir la solución numérica brutal (en MATLAB).

% Autor - Chenguang Zhang
% crear un círculo para ser reflejado
theta = linspace(0, 2*pi, 50);
radio = 0.2;
as = 0.0 + radio * cos(theta);
bs = 0.5 + radio * sin(theta);

figure(1)
hold on
xx = linspace(-3,3,101);
plot(xx, xx.*xx, 'b-', 'LineWidth', 2)
plot(as, bs, 'ro')

para ii = 1:length(theta)
    a = as(ii);
    b = bs(ii);
    troots = roots([1 0 0.5-b -0.5*a]);
    para i = 1:length(troots)
        t = troots(i);
        si(imag(t) ~= 0)
            continuar;
        fin
        x = t;
        y = t*t;
        p_reflect = [2*x - a, 2*y - b];
        plot(p_reflect(1), p_reflect(2), 'bo')
    end
end

Una imagen de múltiples ejecuciones con distintas ubicaciones y formas de los círculos se muestra a continuación.