Cuando $x$ va a $0$ ¿Qué pasa con $\sin\left(\frac{1}{x}\right) $ y $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ ?

Question

Cuando $x$ se acerca a $0$ , hacer $\sin\frac{1}{x}$ y $\cos\frac{1}{x}$ ¿convergen o divergen?

¿Cómo se demuestra esto?

Answer 1

Se pueden construir secuencias $a_i,b_i$ tal que $a_i,b_i\rightarrow0$ y $\sin(1/a_i)=0,\sin(1/b_i)=1$ para todos $a_i,b_i$ .

Lo mismo ocurre con $\cos(\frac{1}{x})$ .

Utilice el hecho de que $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=c$ si y sólo si para todas las secuencias $w_i$ con $w_i \rightarrow a$ tienes $f(w_i) \rightarrow c$ .

Answer 2

Cuando $x\to 0$ entonces $$\lim ~\sin(1/x)$$ no existe. De hecho, cuando $x$ se acerca al origen, esta función se enfrenta a demasiadas oscilaciones entre $y=-1$ y $y=+1$ . Creo que una forma de ver que este límite no existe es asumir que el límite existe y entonces nos enfrentamos a una contradicción. Supongamos que el límite es $a$ , entonces eligiendo $\epsilon=1/2$ y utilizar la definición del límite, podemos encontrar $\delta>0$ tal que $0<|x|<\delta$ nos lleva a $$|\sin(1/x)-a|<1/2$$ . Ahora elija dos puntos en los reales para un número entero suficientemente grande $n$ tal que: $$x_1=1/(2n+1/2)\pi,~~~x_2=1/(2n-1/2)\pi$$ y tratar de encontrar la contradicción. :)

Answer 3

Decimos que el seno(1/x) y el cos(1/x) es divergente porque el límite no existe. Lo sabemos porque el seno(1/x) y el cos(1/x) fluctúan infinitamente entre cero y 1 en 0.

el límite existe (y es un número), en este caso decimos que la función es convergente

el límite no existe o es infinito, entonces decimos que la función es divergente

Answer 4

Intenta por contradicción, suponer $\lim_{x\rightarrow 0}\sin{(\frac{1}{x})}=l, \:l\in \mathbb{R}$

por lo tanto, $\forall \epsilon >0, \exists \delta>0$ de manera que si $| x - 0|<\delta$ el $| f(x)-l | < \epsilon$ .

Por la propiedad arquimédica existe $a_{1},a_{2}$ tal que $0<a_{1},a_{2}< \delta$ y $a_{1}=\frac{1}{2k\pi\ + \frac{\pi}{2}}$ y $a_{2}=\frac{1}{2k\pi}$ , $k\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow | 1-l|<\epsilon$ y $ |l| <\epsilon$

Lo que concluye la prueba.

Answer 5

La idea es que para ambos $\cos(\frac{1}{x})$ y $\sin(\frac{1}{x})$ cuando $x\to0$ , fluctúan indefinidamente entre 1 y 0 (puedes graficarlo y acercarte a cero, el gráfico se verá igual sin importar cuanto te acerques).

Por lo tanto, otra forma de probar esto es utilizar el $\delta, \epsilon$ definición de un límite y mostrar que no importa lo que $\delta$ que elija, siempre habrá un valor (para cualquier límite $L$ puede elegir) $x$ tal que $|\cos(\frac{1}{x}) - L|$ no es inferior a $\epsilon$ .