Evalúe

Question

Teniendo en cuenta la suma como una suma de Riemann, evaluar %#% $ #%

Answer 1

$$\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n\frac{k}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\frac{k}{n}}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\xrightarrow [n\to\infty]{}\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,dx=\ldots$$

Answer 2

Un enfoque más general. Cuando tenemos sumas de la forma $\sum_{k=0}^nf(k,n)$ y quiere probar la convergencia puede utilizar la definición de integrales de Riemann. Elija la partición favorito mio es\begin{equation}\mathcal{P}=\left\{ 0=x_0<x_1<...<\frac{i}{n}<...<x_n=1 \right\}\end{equation} ahora debemos elegir sabiamente nuestra función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ para que % $ $$U_{f,\mathcal{P}}=\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}$pero\begin{equation}U_{f,\mathcal{P}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{M_i(f)\left( x_i-x_{i-1} \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\sup_{x\in [x_{{i-1}},x_i]}f(x)}n \end{equation} si elegimos una función creciente, esto simplifica a $$\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}=\sum_{k=1}^{n}\frac{f(x_k)}n$ $ emparejar los términos da $$f(x_k)=\frac{kn}{n^2+k^2}\Rightarrow f(x)=\frac{xn^2}{n^2+n^2x^2}=\frac{x}{1+x^2}$ $ que es cómo usted puede venir para arriba con $f$. El resto puede encontrarse en la respuesta de Antonio