$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log(n)}\sum _{k=1}^n \frac{\cos (\sin (2 \pi \log (k)))}{k}$

Question

¿Qué herramientas me recomendaría para la informática? precisamente ¿el límite de abajo? ¿Tal vez un punto de partida? $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log(n)}\sum _{k=1}^n \frac{\cos (\sin (2 \pi \log (k)))}{k}$$

Answer 1

Dejemos que $f(x) = \frac{\cos(\sin(2\pi x))}{x}$ tenemos

$$f'(x) = - \frac{2\pi\cos(2\pi x)\sin(\sin(2\pi x)) + \cos(\sin(2\pi x))}{x^2} \implies |f'(x)| \le \frac{2\pi + 1}{x^2} $$ Por MVT, para cualquier $x \in (k,k+1]$ podemos encontrar un $\xi \in (0,1)$ tal que

$$|f(x) - f(k)| = |f'(k + \xi(x-k))|(x-k) \le \frac{2\pi+1}{k^2}$$

Esto implica

$$\left| \int_k^{k+1} f(x) dx - f(k)\right| \le \frac{2\pi+1}{k^2}$$

Como resultado,

$$|\sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x) dx| \le |f(n)| + \sum_{k=1}^{n-1} \left|f(k) - \int_k^{k+1} f(x)dx\right|\\ \le 1 + (2\pi + 1)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = 1 + \frac{(2\pi + 1)\pi^2}{6} < \infty$$

Como resultado,

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}\sum_{k=1}^{n}f(k) = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}\int_1^n f(x) dx = \lim_{L\to\infty}\frac{1}{L}\int_0^L f(e^t) de^t\\ = \lim_{L\to\infty}\frac{1}{L}\int_0^L \cos(\sin(2\pi t)) dt $$ Dado que el integrando es periódico con periodo $1$ el límite de la derecha existe y es igual a

$$\begin{align} & \int_0^1\cos(\sin(2\pi t))dt = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(\sin(t)) dt = J_0(1)\\ \approx & 0.765197686557966551449717526102663220909274289755325 \end{align} $$ donde $J_0(x)$ es el Función de Bessel del primer tipo .

Answer 2

Yo empezaría con esto:

$$0\leq \left|\frac{1}{\log(n)}\sum_{k=0}^n\frac{\cos(\sin(2\pi\log(k)))}{k}\right|\leq \frac{1}{\log{n}}\sum_{k=0}^n\frac{1}{k}$$

Answer 3

Usando la estimación estándar para los números armónicos, $$ \left| \frac{1}{\log n} \sum_{k=1}^n \frac{\cos(\sin(2\pi \log(k)))}{k}\right| \leq \frac{1}{\log n} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} = \frac{1}{\log n}(\log(n) + \gamma + O(1/n)). $$ Así que en el límite, $$ \left| \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\log n} \sum_{k=1}^n \frac{\cos(\sin(2\pi \log(k)))}{k} \right| \leq 1. $$ Se trata de un límite bastante elemental, así que probablemente ya lo conocías, pero espero que te sirva de ayuda.