En el documento que mencionas, $K\subset \mathbb{C}$ es cuadrática imaginaria por lo que el campo reflejo es sólo $K$ en sí mismo. De hecho, $\mathcal{M}(1,0)$ se define sobre Spec $(\mathcal{O}_K)$ pero el campo más pequeño de definición de las curvas elípticas CM puede ser mayor o menor que $K$ .
Por ejemplo $E: y^2 = x^3+x$ se define sobre $\mathbb{Z}$ pero tiene una multiplicación compleja por $\mathbb{Z}[i]$ . En este caso el $j$ -invariante es $1728$ y $H=K$ . Obsérvese que, por definición, sólo el cambio de base de este $E$ a $E\times \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_K)$ aparece en la familia $\mathcal{M}(1,0)$ .
Si el número de clase no es 1, $E$ no se puede definir sobre $K$ ya que $j(E)\in K$ contradice $K \subsetneq K(j(E)) = H$ . Pero el propio espacio de módulos sigue estando definido sobre $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_K)$ . Lo correcto es comparar con el campo de definición de cada curva elíptica de la familia, es en realidad $\mathcal{M}$ en sí mismo, no la base de $\mathcal{M}$ . Esto se debe a que el objeto universal para el espacio de moduli se define en $\mathcal{M}$ y los demás objetos se obtienen por cambio de base mediante mapas a $\mathcal{M}$ .
Supongamos que $L$ es un campo, y que $E$ sea una curva elíptica sobre $\operatorname{Spec}(L)$ perteneciente a la familia $\mathcal{M}$ . Desde $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_H)$ es el espacio de moduli grueso de $\mathcal{M}(1,0)$ Hay un mapa $\mathcal{M}(1,0) \rightarrow \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_H)$ en $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_K)$ . Compaginando esto con el mapa $\operatorname{Spec}(L) \rightarrow \mathcal{M}(1,0)$ correspondiente a $E$ , da un mapa $\operatorname{Spec}(L) \rightarrow \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_H)$ en $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_K)$ . Esto muestra $L$ debe contener $\mathcal{O}_H$ (y por lo tanto $H$ .)
