Lineal independebce de $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[4]{2}$, . . .

Question

Yo estaba tratando de demostrar que $\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, ... $ son linealmente independientes, utilizando conocimientos elementales de los números racionales. Pero yo no podía encontrar ninguna prueba usando simples argumentos. Cómo probar que el conjunto $$\{\sqrt[n]{2}\; :\; n=2,3,4,...\}$$ is linearly independent over the field of $\mathbb{Q}$?

Answer 1

supongamos, por $q_k \in \mathbb{Q}$$1 \lt s_1 \lt \cdots \lt s_n \in \mathbb{N}$, que $$ \sum_{k=1}^n q_k \sqrt[s_k]{2} = 0 $$ deje $s$ ser el mínimo común múltiplo de los $\{s_k\}$,$\rho=\sqrt[s]{2}$$t_k=\frac{s}{s_k}$, de modo que tenemos: $$ \sum_{k=1}^n q_k \rho^{t_k} = 0 $$ pero esto tiene un grado menos de $s$, mientras que la mínima polinomio para $\rho$ es $$ x^s - 2 = 0 $$