Así que estoy buscando en un estadístico de la ruta integral, es decir, que yo trabajo con una Euclidiana acción. El propagador de mi (Wiener) ruta integral está dada por: $$ K(x_T,T|x_0,0)=\int\limits_{x(0)=0}^{x(T)=x_T}\mathcal{D}x\exp\left(-\int\limits_0^T\left[\frac{m}{2}\left(\dot{x}\right)^2+fx\right]d{t}\right), $$ que es básicamente una partícula libre en una gravedad potencial. Ya que la acción es cuadrática, la WKB fórmula $$ K(x_T,T|x_0,0)\approx\sqrt{-\frac{1}{2\pi}\frac{\partial^2 S[x_\mathrm{kl}(t)]}{\partial x_0\partial x_T}}\exp\left(-S[x_\mathrm{kl}(t)]\right) $$ debe ser exacta.
La ecuación de movimiento me da que la trayectoria de la partícula a la reunión de las condiciones de frontera está dado por: $$ x_\mathrm{kl}(t)=\frac{f}{2m}(t-T)t+\frac{x_T - x_0}{T}t + x_0. $$ El uso de este camino, puedo calcular la acción clásica que es igual a: $$ S_\mathrm{kl}=-\frac{f^2}{24m}T^3+\frac{d}{2}(x_T+x_0)+\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}. $$
La sustitución de todas mis resultados en la WKB fórmula, a continuación, los rendimientos que el propagador ahora está dada por: $$ K(x_T,T|x_0,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi T}}\exp\left(-\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}-\frac{d}{2}(x_T+x_0)+\frac{f^2T^3}{24m}\right). $$ El problema, sin embargo con este propagador es que no se queda normalizada. Si me la demanda que el predicador debe permanecer normalizado en todo momento $T$, entonces mi propagador está dada por: $$ K(x_T,T|x_0,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi T}}\exp\left(-\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}-\frac{f T}{2}(x_T+x_0)+\frac{f^2T^3}{24m}\color{blue}-\color{blue}{\frac{fT}{6}}\left[\color{blue}{\frac{fT^2}{m}-6x_0}\right]\right), $$ que los rendimientos de un plazo adicional en comparación con la primera versión.
Extra: el Tiempo en rodajas método
Creo que he encontrado el origen de mi problema, y se puede ver observando el infinitesimal propagador dada por $$ K(x_j,t_j|x_{j-1},t_{j-1})=\sqrt{\frac{m}{2\pi\Delta t_j}}\exp\left(x_{j-1} f \Delta t_j + \frac{f^2}{2m}(\Delta t_j)^3\right)\\\times\exp\left(-\frac{m}{2\Delta t_j}\left[x_j-\left(x_{j-1}+\frac{f}{m}(\Delta t)^2\right)\right)^2\right). $$ En la parte superior hemos hecho ver que la normalización se obtiene un extra factor exponencial que hará la ruta integral propagador (en el tiempo) a divergir. También tenga en cuenta que también tiene (más o menos) de la misma forma como la necesaria normalización de los factores (apoyo de mi afirmación anterior)!
Pregunta (nuevo): Para computacional sencillez me gustaría que mis propagador a estar normalizado. Está bien utilizar sólo la segunda versión normalizada para mi expectativa de valores, o es que simplemente está mal? Respuesta a la vieja pregunta, por supuesto, todavía bienvenida, ya que pueden ser relevantes para la exploración de la ruta integral.
Pregunta (de edad): ¿hay algún tipo de extra teorema que pone limitaciones en la exactitud de la WKB fórmulas, o deja un extra importante aquí? Me han recalculado el resultado de un par de veces y todo parece estar correcto a primera vista.
Acerca de la solución
También comprobé que mi solución en la literatura (Dittrich & Reuter) pero se encontraron con el mismo (divergente) solución sin ninguna explicación. Así que al menos sé que la solución encontrada es la correcta. Por desgracia, todavía no tengo idea de lo que esto significa para mi la física.
