¿Un número negativo al cuadrado es negativo?

Question

$-3^2 = -9$

Encontré este problema mientras hacía una actualización de álgebra en el libro The Complete Idiot's Guide to Algebra. Le hice este problema a mi hermano ingeniero y se equivocó. Una búsqueda en Google de why is a negative number squared negative me da resultados contradictorios.

Google presenta un extracto de un sitio que dice lo contrario. "Esto se debe a que elevar al cuadrado un número solo significa multiplicarlo por sí mismo. Por ejemplo, $(-2)$ al cuadrado es $(-2)(-2) = 4$. Note que esto es positivo porque cuando multiplicas dos números negativos obtienes un resultado positivo." - Esto, por supuesto, es lo opuesto exacto a lo que se preguntaba, pero es la respuesta proporcionada.

El tercer elemento en los resultados de búsqueda de Google ofreció un foro de matemáticas donde el moderador, el Doctor Rick, afirma que interpretar -3^2 o -(3)^2 es una cuestión de opinión. Es matemática. ¿Cómo puede ser una cuestión de opinión? Si una ecuación se está utilizando para calcular el aterrizaje de una nave espacial, o el diseño de un puente, una diferencia de opinión sobre cómo calcular esto podría resultar catastrófica.

El profesor de matemáticas de la escuela secundaria que escribió The Complete Idiot's Guide to Algebra presentó esta pregunta como "ten cuidado, esta es complicada" específicamente para enseñar esta situación, pero ya que parece haber cierta confusión sobre cuál es la forma correcta de calcular esto.

Mi calculadora científica me dice que es 9. Otra pregunta aquí en SE sobre calculadoras con este mismo problema, la respuesta aceptada fue que agregar paréntesis solucionaba el "problema", pero no aborda si la calculadora lo está haciendo "mal" porque en realidad no está mal.

¿Cuál es la respuesta correcta, y por qué? ¡Gracias!

Answer 1

Aquí está el problema que los otros comentarios han pasado por alto:

$-3^2$ no significa "el cuadrado de menos tres". El exponente tiene prioridad sobre el negativo: significa "el negativo de $3^2$". Si quieres decir "el cuadrado de menos tres" escribes $(-3)^2$. (Esto también explica los problemas con tus lenguajes de programación - los que dicen $-9$ lo escriben sin la notación de función haciendo el agrupamiento por ti, por lo que el negativo se aplica después.)

Answer 2

No es una opinión sino una convención (aceptada en todo el mundo hasta donde yo sé):

$$ -3^2=(-1)\cdot 3^2= (-1) \cdot 9 = -9 $$

Answer 3

$ -3 ^ 2 = -9 $ ahora, si tienes paréntesis, como este:
$(-3)^2$, entonces la respuesta será $ 9 $.

Answer 4

IMO ayuda mucho a entender cómo la sintaxis de los lenguajes de programación, y de una manera menos directa también la notación matemática, siempre corresponde a una estructura de datos de árbol. Por ejemplo, $f(g(x), h(y,z))$ en realidad es una codificación de cadena de caracteres para algo como $$ \begin{matrix} & & f & & \\& \nearrow & & \nwarrow & \\ g & & & & h \\ \uparrow & & & \nearrow & \uparrow \\ x & & y & & z \end{matrix} $$ El término $-3^2$, o la expresión Python -3**2, significa $$ \begin{matrix} & & -\square\quad & & \\ & & \uparrow & & \\ & & ** & & \\& \nearrow & & \nwarrow & \\ 3 & & & & 2 \end{matrix} $$ No significa $$ \begin{matrix} & & ** & & \\& \nearrow & & \nwarrow & \\ -\square & & & & 2 \\ \uparrow\!\!\!\!\! & & & & \\ 3 \!\!\!\!\! & & & & \end{matrix} $$ ¿Por qué no? Bueno, estas son solo las convenciones sobre cómo se analizan las expresiones: la potenciación se asocia más estrechamente que la negación (que está, casi razonablemente, en el mismo nivel que la adición).

Pero si escribes en C# Math.pow(-3, 2), entonces claramente esto se analiza como $$ \begin{matrix} & & \mathrm{pow} & & \\& \nearrow & & \nwarrow & \\ -3 & & & & 2 \end{matrix} $$ que es un cálculo diferente y da como resultado $9$. Para expresar $-3^2$ en C#, usa - Math.pow(3,2).

En los lenguajes de programación, las reglas de análisis generalmente son las siguientes:

• Los paréntesis agrupan un subárbol juntos, sin importar lo que suceda alrededor de ellos. La aplicación de funciones típicamente se conecta con paréntesis, por lo que esto también se asocia estrechamente.
• Las comas siempre separan subárboles independientes. Por lo tanto, el -3 en pow(-3,2) es independiente de la 2 y de la función pow.

• Todos los otros operadores infijos, como + y **, tienen alguna aridad predefinida. Por ejemplo, en C y C++ la jerarquía de precedencia de operadores incluye los siguientes:

  11. <, <=, >, >=
  12. <<, >>
  13. +, -
  14. *, /, %

  por lo tanto, cuando se encuentra la expresión pow(0+(-1)*3, 2), el analizador primero la divide en la coma, luego en el +, luego en el *, antes de considerar el paréntesis interno.
  Pero en los lenguajes con un operador de exponenciación, esto, al igual que en la notación matemática, debería tener una aridad mayor que los otros operadores.

Estas reglas de análisis pueden variar sutilmente entre diferentes lenguajes de programación, pero al menos para un solo lenguaje siempre deben estar bien especificadas.

Desafortunadamente, en matemáticas a menudo no es tan claro: ¡para algunas expresiones de hecho es cuestión de interpretación lo que significan! Por ejemplo, ¿significa $\sin x^2$ $(\sin x)^2$ o más bien $\sin(x^2)$? En mi opinión debería ser lo primero (porque la aplicación de funciones se asocia estrechamente), pero creo que la mayoría de los matemáticos y científicos no están de acuerdo, y por eso se utiliza la notación completamente ridícula $\sin^2 x$ para eso.

Bueno...

Answer 5

Para conservar la ley distributiva de la aritmética: $x(y+z)=(xy)+(xz),$ junto con las otras leyes básicas de la aritmética, al extender el sistema numérico para incluir inversos aditivos, debemos tener $$1=1+0=1+(-1)\cdot 0=$$ $$=1+(-1)[1+(-1)]=$$ $$=1+[(-1)1]+[(-1)(-1)]=$$ $$=1+(-1)+(-1)^2=0+(-1)^2=$$ $$=(-1)^2.$$