Por ejemplo, mira esta frase de Perko del texto en sistema dinámico
"Se desprende de Cauchy Schwarz desigualdad que si $T \in L(R^n)$ es representado por la matriz de $A$ con respecto a la norma base para la $R^n$ $_\cdots$" pg 11
¿Qué significa para un $T: R^n \to R^n$ a ser representado por una matriz? No es, por definición, que $T: R^n \to R^n$ es equivalente a una matriz de n por n? Alguien puede traducir exactamente qué entiende por "representado" versus "no representa"?
El operador $T$ es una función de$\Bbb R^n$$\Bbb R^n$; $n\times n$ matriz de números reales no es una función. Si uno se decide por la matriz $A$ correctamente, se puede decir que la función de $T(x)=Ax$ por cada $x\in\Bbb R^n$, pero que está muy lejos de decir que la función de $T$ es la matriz de $A$.
Considere el más conocido caso de funciones con valores en los reales. Específicamente, considere la función $f(x)=ax$: esta función no es ciertamente lo mismo que el número real $a$. La relación entre el $T$ $A$ en el primer párrafo es precisamente similar a la que se entre $f$ $a$ en este párrafo.
El número después de nueve está representado en el habitual sistema de base por la secuencia de dígitos $10$, pero no es una secuencia de dígitos. Propiedades como la de "dos dígitos" son propiedades de la representación, mientras que las propiedades como "tiene cuatro factores" son propiedades de la serie. Podemos representar el número en binario, como $1010$, y que sería igual de válido.
Del mismo modo, una transformación lineal $T$ puede ser representado por una matriz de $M$, pero no es el de la matriz. Propiedades como "triangular superior" son propiedades de la representación, mientras que las propiedades como "inyectiva" son propiedades de la transformación lineal. En una base diferente, $T$ podría ser representada por una matriz distinta de $M$, y que la representación sería igual de válido.
El concepto de matriz puede ser útil en otra situación, que para los operadores lineales, y existe lineal de operadores que no pueden ser representados por matrices.
La matriz es sólo un conjunto de elementos y se suman y se multiplican de acuerdo a ciertas reglas. Para ello sólo es necesario que exista una definición significativa para la adición y la multiplicación de los elementos. Esto significa que los elementos no deben ser números reales, o incluso de los números complejos. Se puede por ejemplo ser números enteros (que pueden no parecer alarmante, pero hay una gran diferencia). Aún hay más "raro" de cosas que uno podría poner en una matriz, como por ejemplo los números enteros utilizando un módulo-n de las operaciones. Estos últimos casos significa que la matriz no representan un operador lineal.
Luego hay lineal de operadores que no funciona en espacios vectoriales de dimensión finita o producir valores de espacios vectoriales de dimensiones finitas. Por ejemplo, un operador lineal podría mapa o a un espacio vectorial de las secuencias o incluso funciones. Estos, obviamente, puede no ser representada como una matriz.
Como para el caso normal de álgebra lineal 101 se debe recordar que un operador lineal es todavía el mismo, no importa que la base para el espacio vectorial(s) que uso, pero la matriz que representa el operador será diferente dependiendo de la elección de la base. Aunque usted puede pensar de un espacio vectorial como tener un canónica de la base, este no es necesariamente el caso (es mejor pensar en ellos como un espacio por derecho propio y el de la base de que usted seleccione arbitrarias, y la base no es "mejor" que otro).
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