Estoy interesado en la distribución de la reducción máxima de un paseo aleatorio: Vamos a $X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$ donde $Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$. El máximo drawdown después de $n$ periodos de es $\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$. Un papel por Magdon-Ismail et. al. da la distribución de reducción máxima de un movimiento Browniano con deriva. La expresión implica una infinita suma, que incluye algunos de los términos definidos sólo implícitamente. Estoy teniendo problemas para escribir una aplicación que converge. Es alguien consciente de una expresión alternativa de la CDF o una implementación de referencia en el código?
Respuestas
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Esta es una alternancia de suma. Cada una de las sucesivas par casi cancela; par-sumas eventualmente disminuir monótonamente.
Un método, entonces, es para calcular la suma de los pares de donde $n$ = {1,2}, {3,4}, {5,6}, etc. De lo contrario se elimina una gran cantidad de punto flotante de error, también.) Algunos más trucos pueden ayudar:
(1) solucionar $\tan(t) = t / \alpha$ para una constante positiva $\alpha$, un buen valor de inicio para buscar--y una excelente aproximación para la $n^\text{th}$ más grande de la raíz-es $t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$. Tengo la sospecha de Newton-Raphson debe trabajar muy bien.
(2) Después de un pequeño número de términos iniciales, la suma de los pares comenzará a disminuir en tamaño muy, muy consistente. Los logaritmos de los valores absolutos de manera exponencial espacio pares disminuir rápidamente de forma casi lineal. Esto significa que usted puede interpolar entre un número muy pequeño de calcula a par-sumas para la estimación de todos los par-sumas que no compute. Por ejemplo, al calcular los valores solo para parejas (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), ..., (16384, 16385) y la construcción de la interpolación polinomial para estos (pensamiento de los valores de una función en 1, 2, ..., 14) y el uso de los argumentos $h = \mu = \sigma = 1$, yo era capaz de lograr seis-figura de precisión para el peor de los errores. (Incluso mejor, los errores oscilan en signo, lo que sugiere la precisión en la suma valores interpolados podría ser un poco mejor que la de seis cifras.) Probablemente se podría estimar la limitación de suma a una buena precisión al extrapolar linealmente al final de estos valores (que se traduce a una ley de potencia) y la integración de la extrapolación de la función a cabo hasta el infinito. Para completar este ejemplo de cálculo se necesita también el primer término. Que le da seis-figura precisión por medio de sólo 29 calculada términos en la suma.
(3) tenga en cuenta que la función depende realmente de $h/\sigma$$\mu/\sigma$, no en todos los tres de estas variables de forma independiente. La dependencia de la $T$ es débil (como debe ser); podría ser el contenido de fijar su valor a lo largo de todos sus cálculos.
(4) En la parte superior de todo esto, considere el uso de algunas series-aceleración de métodos, como el método de Aitken. Una buena contabilidad de esto aparece en Recetas Numérica.
Agregó
(5) se puede estimar Que la cola de la suma con una integral. Al escribir $\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$, la ecuación de $\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$ ( $\alpha = \mu h / \sigma^2$ ) puede ser resuelto por $t_n$, que es pequeño y, a continuación, para $\theta_n$ mediante la sustitución de la espalda. La expansión de la tangente en un desarrollo en serie de Taylor en $t_n$ da la solución aproximada
$$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$$
donde $z = (n + 1/2)\pi$.
Siempre $n$ es lo suficientemente grande, la exponencial de los factores de la forma $1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$ llegan a ser muy cercano a 1, de modo que usted puede prescindir de ellos. Normalmente, estos términos pueden ser descuidado, incluso para pequeñas $n$ porque $\theta_n^2$$\Theta\left(n^2\right)$, haciendo que el primer exponencial ir a cero muy rápidamente. (Esto sucede una vez $n$ sustancialmente supera $\alpha / T^{1/2}$. Hacer sus cálculos para un gran $T$ si se puede!)
El uso de esta expresión para $\theta_n$ a la suma de los términos de $n$ $n+1$ nos permite aproximarse a ellas (una vez que todo el humo se disipa) como
$$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$$
La sustitución de la suma de partida en $n = 2N$ integral $N$ a partir de a $N - 1/4$ se aproxima a la cola. (El integral tiene que ser multiplicada por un factor común de $\exp(-\alpha)$.) El error en la integral es $O(1/n^4)$. Así, para lograr tres cifras significativas que normalmente se necesita para calcular alrededor de las ocho o así de los términos de la suma y, a continuación, agregue esta cola de aproximación.
Jon Galloway
Puntos
28243
Usted podría empezar por mirar la reducción de funciones de distribución en fBasics. Por lo que fácilmente podría simular el movimiento browniano con deriva y aplicar estas funciones como un comienzo.
