Hay un nombre para este extraño solución a una ecuación cuadrática con una raíz cuadrada?

Question

He aquí una pregunta elemental sobre la solución de la siguiente ecuación cuadrática (bueno, no es una ecuación cuadrática hasta que la raíz cuadrada es eliminado):

$$\sqrt{x+5} + 1 = x$$

Al resolver la ecuación anterior, ya sea utilizando el método de factorización o la fórmula cuadrática (después elevarlo al cuadrado ambos lados) recibe $x = 4$ y $x = -1$. Si el enchufe en $x = 4$ en la ecuación original, se comprueba. Sin embargo $x = -1$ no funciona. Usted va a terminar encima de conseguir $3 = -1$ lo cual no es cierto (en otras palabras, el lado izquierdo no es igual a la RHS).

Es esto todavía se considera una solución o raíz de esta ecuación? ¿Tiene un nombre especial?

Answer 1

En general, el problema surge porque el cuadrado no es un "reversible". Es decir, si bien es cierto que si $a=b$ entonces $a^2=b^2$, es no cierto que si $a^2=b^2$, entonces $a=b$. (Por ejemplo, aunque $(-1)^2=1^2$, de esto no se sigue que $-1=1$)

Esto está en contraste con otros tipos de ecuación manipulaciones que utilizamos habitualmente cuando vamos a resolver ecuaciones. Por ejemplo, si $a=b$, entonces $a+k=b+k$, y a la inversa: si $a+k=b+k$, entonces $a=b$. Por lo que podemos agregar a ambos lados de una ecuación (por ejemplo, usted puede ir de $\sqrt{x+5}+1 = x$ $\sqrt{x+5}=x-1$ por la adición de $-1$ a ambos lados) sin cambiar el conjunto solución de la ecuación. Del mismo modo, podemos multiplicar ambos lados de una ecuación por un número distinto de cero, debido a que $a=b$ es verdadera si y sólo si $ka=kb$ es verdadera cuando $k\neq 0$. También se puede tomar exponenciales (desde $a=b$ si y sólo si $e^a=e^b$) y así sucesivamente.

Pero el cuadrado no es así, porque no se puede "invertir". Si intenta revertir la cuadratura, se ejecuta en un lugar gran problema; es decir, que $\sqrt{x^2}=|x|$, y no es igual a $x$.

Así que cuando usted se vaya de $\sqrt{x+5} = x-1$ $(\sqrt{x+5})^2 = (x-1)^2$, usted está considerando un nuevo problema. Nada de lo que fue una solución al viejo problema ($\sqrt{x+5}=x-1$) es todavía una solución a la nueva, pero puede haber (y de hecho son) las cosas que son soluciones para los nuevos problemas que no se resolver el viejo problema.

Cualquiera de dichas soluciones (soluciones a los nuevos problemas que no son soluciones para el problema original) son a veces llamadas "soluciones extrañas". Extraños significa "el que viene de afuera". En este caso, es una solución que viene de "fuera" del problema original.

Answer 2

A menudo se llama un extraño solución, o extraños de la raíz. Y es que no es una solución de la ecuación original. Esto puede ser un poco confuso, ya que un negro gato es todavía un gato. Pensar en una solución ajena como una falsa solución. (Gracias al comentario Rahul Narain para esta última formulación.)

El término solución extraña se produce principalmente en las matemáticas de secundaria.

Answer 3

El cuadrado ambos lados preserva la igualdad (por lo tanto, si $a = b$, entonces $a^2 = b^2$), pero el cuadrado no podría conservar la desigualdad (por ejemplo, $2 \neq -2$, pero sus plazas son iguales). El "preserva la igualdad" de la propiedad significa que usted no perderá ninguno de soluciones de cuadrar, pero el "no podría conservar la desigualdad" significa que usted podría obtener soluciones (es decir, el cuadrado de la ecuación puede tener soluciones que la pre-cuadrado de la ecuación no tiene).

En su caso, $x = -1$ pasa a ser una situación en la que una desigualdad se convierte en una igualdad después de la cuadratura. De hecho, cuando $x = -1$, entonces $\sqrt{x+5} = 2$ y $x - 1 = -2.$ Por lo tanto, $x = -1$ no es una solución para la pre-cuadrado la ecuación (porque $2$ no es igual a $-2$), pero $x = -1$ será una solución para el cuadrado de la ecuación (puesto que el cuadrado de $2$ es igual al cuadrado de $-2$). Es por esta razón que te dicen en la escuela secundaria álgebra (o debería haber sido dicho) que usted debe comprobar todas las soluciones, si en algún momento usted al cuadrado ambos lados de una ecuación. Google (juntos) la frase "solución extraña" y "radical".

Answer 4

El signo de la raíz cuadrada siempre significa la raíz cuadrada positiva, por lo que la única solución es $x=4$. Se presentó el 'fantasma' de la solución al cuadrado ambos lados.

Answer 5

Añadido: Explicación de por qué el cuadrado ambos lados de una ecuación se pueden generar nuevas soluciones, llamadas soluciones extrañas, que no son soluciones de la ecuación original.

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Ya que $$A^{2} B^{2}=(a-B)(a+B),$ de$ la ecuación $$A^{2} B^{2}=0\Leftrightarrow A^{2}=B^{2}$$ significa que $A=B$ o $A=-B.$ las raíces de La ecuación $A^2=B^2$ son las raíces de la ecuación $A=B$ y las raíces de la ecuación $A=B$. Ya que en general las raíces de la ecuación $A=B$ son diferentes de las raíces de la ecuación $A=B$, cuando pasamos de $A=B$ a $A^2=B^2$, podemos generar otras soluciones.

Esto se generaliza a $$ A^{n} B^{n}=(a-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+\ldots +B^{n-1}). $$

Así $$ \begin{ecuación} A^{n}=B^{n}\Leftrightarrow A^{n} B^{n}=0 \etiqueta{1} \end{ecuación}$$

es equivalente a $$ \begin{ecuación} A-B=0\Leftrightarrow A=B \etiqueta{2} \end{ecuación}$$

o $$ \begin{ecuación} A^{n-1}+A^{n-2}B+\ldots +B^{n-1}=0 \etiqueta{3} \end{ecuación}$$

Las raíces de la ecuación $(1)$ son las raíces de la ecuación $(2)$ y las raíces de la ecuación $(3)$. En general, las raíces de la ecuación $(3)$ son diferentes de los las raíces de la ecuación $(2)$. Así que cuando pasamos de $(2)$ $(1)$ podemos generar nuevas soluciones que no son soluciones de la ecuación original.

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Teorema. Elevar ambos lados de una ecuación $A=B$ a el $n^{\text{th}}$ el rendimiento de la energía de una nueva ecuación $A^n=B^n$, que tiene todas las soluciones de la ecuación dada y puede admitir otras soluciones.