¿Cuál es la diferencia entre |(d/dt)velocidad| y (d/dt)|velocidad| [Interpretación Física]

Question

Según yo el módulo de $\frac {\text{d}v}{\text{d}t}$ da la magnitud de la aceleración sin contabilidad para la dirección, pero estoy tropezó sobre cómo interpretar $\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)|velocity|$

Answer 1

Como usted dijo, $|d{\bf v}/dt|$ es la magnitud de la aceleración.

$d|{\bf v}|/dt$ es la tasa de cambio de velocidad.

En general, no son el mismo.

Por ejemplo, en el movimiento circular uniforme

$$\bigg|\frac{d{\bf v}}{dt}\bigg|=\frac{|{\bf v}|^2}{R}$$ mientras $$\frac{d|{\bf v}|}{dt}=0$$

Answer 2

Si estamos tratando con el movimiento en una dimensión, a continuación, la velocidad de la función es un escalar (es decir,$v: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$), y tiene sentido hablar de "energía positiva" y "negativa de la velocidad" (y lo mismo para la aceleración). Voy a asumir que en lo que sigue.

En primer lugar, puede ser útil saber que $\frac{d}{dt} |t| = sgn(t)$ donde $sgn(t)$ es el signum función: $sgn(t) = 1$ $t>0$, $sgn(t) = -1$ para $t<0$, e $sgn(0)$ es indefinido. También se puede escribir esta como $\frac{d}{dt} |t| = \frac{|t|}{t}$$ t\ne 0$.

Por la regla de la cadena, a continuación, $$\frac{d}{dt} |v(t)| = sgn(v(t)) \space a(t)$$

Es decir, $\frac{d}{dt} |v(t)| $ dice que la aceleración de los tiempos de la señal de la velocidad.

Hay cuatro casos a considerar:

• Si un objeto tiene una velocidad positiva y positiva de la aceleración, $\frac{d}{dt} |v(t)| $ es positivo (y es igual a la aceleración).

• Si un objeto tiene una velocidad positiva sino negativa de aceleración, $\frac{d}{dt} |v(t)| $ es negativo (y es igual a la aceleración, pero no igual a la magnitud de la aceleración, que por supuesto es positivo).

• Si un objeto tiene negativo de la velocidad, pero positiva de la aceleración, $\frac{d}{dt} |v(t)| $ es negativo (y de signo opuesto tanto a la aceleración y la magnitud de la aceleración, lo que sería positivo e igual a cada uno de los otros).

• Si un objeto tiene negativo de la velocidad y aceleración negativa, $\frac{d}{dt} |v(t)| $ es positivo (y es igual a la magnitud de la aceleración).

De los cuatro casos anteriores, sólo en el primer y el último es $\frac{d}{dt} |v(t)| $ igual a $|\frac{d}{dt} v(t) | $.

Answer 3

EDIT: Esta respuesta es demasiado malo para corregir. Sorprendente.

Si $v:\mathbb R\to \mathbb R$, numéricamente, son los mismos que existen. Esa es una consecuencia del hecho de que $(-v)' = -(v')$.

Pero donde $v$ cambia de signo, $|v|$ puede no ser diferenciable. Esto es debido a que la función valor absoluto $x\mapsto |x|$ no es diferenciable en a $x=0$.