Es $\lim_{n \to \infty} \lim_{l \to \infty} \ a_{n,l} = \lim_{l \to \infty} \lim_{n \to \infty} \ a_{n,l}\;$?

Question

Es $\lim_{n \to \infty} \lim_{l \to \infty} \ a_{n,l} = \lim_{l \to \infty} \lim_{n \to \infty} \ a_{n,l}\;$?

¿Qué sucede si puedo reemplazar límites con lim sup?

Gracias!

Answer 1

$$\begin{array}{cc} 1&2&3&4&\ldots&\to&\infty\\ 0&1&2&3&\ldots&\to&\infty\\ 0&0&1&2&\ldots&\to&\infty\\ 0&0&0&1&\ldots&\to&\infty\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&&\vdots\\ \downarrow&\downarrow&\downarrow&\downarrow&&&\downarrow&\\ 0&0&0&0&\ldots&\to&\text{OOPS!} \end{array}$$

Este PDF tiene una amplia discusión de la doble límite, los dos iterada límites, y bajo qué condiciones son iguales.

Answer 2

Brian ya respondió a la primera pregunta muy bien, así que voy a responder a la segunda. Si $\lim_{x\to\infty} x_{n}$ existe, entonces $$\limsup{x_{n}}=\liminf{x_{n}}=\lim_{x\to\infty}x_{n}.$$ Consider what would happen if this were not the case. Then there would exist at least two different subsequential limits. However, since every converging sequence has each subsequential limit converge to the same limit, clearly $\lim_{x\to\infty}x_{n}$ no existiría. Por lo tanto, si los límites, de hecho, existe, entonces el doble de $\limsup$s, sería equivalente al doble de los límites.

Answer 3

El ejemplo clásico para ver lo que ocurre es tomar $$ a_{m,n}=\frac{m}{m+n}. $$ Entonces $$ \lim_m\lim_n a_{m,n}=0,\ \ \lim_n\lim_n a_{m,n}=1. $$ Para el sup tenemos, para cualquier doble secuencia $b_{m,n}$, $$ \sup_m\sup_n b_{m,n}=\sup_{m,n}b_{m,n}=\sup_n\sup_m b_{m,n}. $$