Formas de calcular el espectro de un operador

Question

Amigos,

Estoy aprendiendo algunas cosas muy básicas de la teoría espectral y un poco perdido, en algún sentido. Estoy tratando de encontrar maneras para calcular los espectros de los distintos operadores, cuando trabajan y no trabajan. Por ejemplo, aplicando directamente las definiciones, soy capaz de calcular el espectro de la proyección ortogonal a ser el conjunto de $\{0,I\}$.

Pero, con el fin de encontrar lo esencial espectro de algunos operadores diferenciales, decir $L=\partial_{xx}+c\partial_{x}+F$ donde $F$ es algunos linealizado término de una función no lineal $f(u)$, me gustaría realizar una transformada de Fourier $\mathfrak{F}(L)$ y calcular los autovalores de este operador. (No estoy seguro si esta es la manera correcta de hacerlo.)

Otras formas son los diferentes tipos de transformaciones (que no tengo idea; pero hablando con algunas personas, me di cuenta de que tomando la transformada de Laplace a veces funciona, también!).

Creo que aplicando directamente las definiciones no sería posible en muchos de los casos. Alguien puede darme referencias de técnicas de búsqueda de los espectros de los distintos operadores, cuando fallan y el trabajo? Al menos, cuando veo a algún tipo de operador, me gustaría saber que tengo un sentido de qué hacer.

Saludos cordiales,

Answer 1

Hay toda una teoría dedicada a esto, así que la respuesta corta es: hay un montón. No puedo pensar en tres:

1. Resolver analíticamente el resolvent ecuación diferencial (es decir, la ecuación de $Lu - \lambda u = v$). Esto tiende a funcionar cuando el geométrica de dominio es unidimensional (Sturm-Liouville la teoría) o cuando es muy simétrica (separación de variables en coordenadas polares ...).
2. La transformación de Fourier de la resolvent ecuación para convertirla en una ecuación algebraica. Esto funciona cuando la transformada de Fourier está disponible (que para mí significa que usted está en el toro o en el espacio libre), y cuando el operador tiene coeficientes constantes. Ver aquí para ver un ejemplo.
3. Mediante el cálculo de variaciones para determinar el espectro por alguna técnica como el principio Minimax. Esto es lo que uno normalmente hace para determinar el espectro de elíptica de operadores acotados dominios y compacto de Riemann colectores.

Answer 2

Giuseppe Negro ya se ha mencionado, pero yo quería ir a un poco más de detalle con su primer punto, el Sturm-Liouville métodos.

Una estrategia que se utiliza muy a menudo en la práctica es: Calcular los Verdes función o, respectivamente, la solución fundamental para $L-\lambda \mathbf{1}$ (en realidad se puede permitir $G$ a ser una distribución), esto induce a una resolvent función de $R_\lambda(f)=\int G_\lambda(x,y)f(y)dy$ dependiendo $\lambda$. Esto significa, que cada punto singular de la resolvent función (es decir, $G$ no existe, la integral diverge o algo así) que son buenos candidatos para su espectro.

Para llegar allí, que a menudo utilizan métodos como la transformada de Fourier y/o métodos de separación o, en mayo de casos, basta con buscar Verdes funciones. Por ejemplo, usted puede obtener el espectro de $-\Delta$ simplemente de saber, que los Verdes de la función de Helmholtz Operador $\Delta+k^2$$\frac{-e^{-ikr}}{4\pi r}$. Para demostrar que realmente ha obtenido el espectro completo, métodos de aproximación a menudo son muy útiles, es decir, que utilice ese $\lambda\in\sigma(A)$ si y sólo si existe una secuencia normalizada para que $(A-\lambda)\varphi_n\rightarrow 0$ ($A$ selfadjoint).

Buena suerte, teoría espectral es maravilloso!

EDIT: Esto sólo vino a mi mente:

Uno más muy intuitiva y elegante estrategia para calcular el espectro actualmente estoy trabajando en implica Aparejado Espacios de Hilbert. Es la estrategia que se utiliza generalmente por los físicos para calcular los espectros de operadores de Schrödinger. La idea es la siguiente: Usted acaba de tratar de calcular un eigenfunction o eigenfunctional a usted diferencial de operador sin importarle dominios o tales cosas, por ejemplo, $e^{\pm ikx}$ "eigenfunction" de $-\Delta$, aunque esta función no es, obviamente, en $L^2(\Omega)$ si $\Omega$ no es acotada. Sin embargo, es obvio que puede interpretarse como una distribución, por lo tanto, se puede interpretar este resultado en la CARTA de ajuste. La parte difícil ahora es construir una RHS donde se puede demostrar, que cada eigenfunctional pertenece a una $\lambda\in\sigma(A)$ (la otra dirección es proporcionada por la nuclear teorema espectral), un así llamado "apretado rigging". Para casos especiales, esto se puede hacer utilizando métodos de aproximación. Sin embargo, el caso general, no se ha investigado hasta donde yo sé.