Uso de la palabra "axioma" en la definición de los espacios vectoriales

Question

Consideremos la siguiente definición de espacios vectoriales:

¿Por qué las condiciones enumeradas se llaman "axiomas"? Entiendo que los axiomas son supuestos básicos que se dan por ciertos. Por lo tanto, no están pensados para ser probados. Sin embargo, a partir de esta definición, es necesario demostrar que los axiomas se "cumplen" para un conjunto específico con el fin de concluir que el conjunto es un espacio vectorial. ¿Es eso diferente de "demostrar" que los axiomas son verdaderos para un conjunto determinado?

Answer 1

Los axiomas en las matemáticas modernas significan lo mismo que un conjunto de propiedades, o condiciones. Diferentes cosas pueden satisfacerlas o no. Cuando se define un espacio vectorial se dice básicamente que un espacio vectorial es cualquier cosa que satisfaga esos axiomas. Los axiomas no pretenden tener un significado más profundo que ése. Simplemente señalan algunas cosas entre todas enumerando propiedades. Es simplemente una definición. Antiguamente, algunos filósofos y profesores insistían en atribuir a la noción de axioma una vaga verdad no verificable. Eso hace tiempo que desapareció (o debería hacerlo).

Answer 2

Lo que yo entiendo por axiomas es que son supuestos básicos que se dan por ciertos.

En cierto sentido, eso es cierto aquí. Son las suposiciones básicas que se permiten hacer cuando alguien te da una tupla $(V,+,0,-,\cdot)$ y te dice "esto es un espacio vectorial". Si sabes algo de lógica de primer orden: podrías hacer el lenguaje de los espacios vectoriales reales, que tiene símbolos de función $+,-,0$ y para cada número real $r$ un símbolo de función $r\cdot$ . Entonces los axiomas anteriores son todos formulables en este lenguaje. (Edición: y hay que incluir también la teoría de los números reales, que aquí se deja implícita). Los modelos de este conjunto de axiomas son espacios vectoriales; y para demostrar que algo es un espacio vectorial, se demuestra que satisface esos axiomas.

Sin embargo, a partir de esta definición, es necesario demostrar que los axiomas se "satisfacen" para un conjunto específico con el fin de concluir que el conjunto es un espacio vectorial. ¿Es eso algo diferente a "demostrar" que los axiomas son verdaderos para el conjunto dado?

En realidad no, salvo por la sutil diferencia de que algo puede ser cierto sin ser demostrable. Si alguien te pregunta "¿es esta tupla un espacio vectorial?", tu único recurso es demostrar que todos los axiomas se cumplen, o que uno de ellos no se cumple.

Answer 3

Los axiomas se definen como verdaderos para los espacios vectoriales.

Cuando se intenta demostrar que algo es un espacio vectorial, en realidad se está verificando (no "demostrar") que los axiomas se cumplen.

Se trata de un pequeño juego de palabras.

Answer 4

Puede ser útil pensar en esto en términos de programación:

En matemáticas hay ciertos objetos que caen en ciertos clases Un ejemplo de clase matemática es el "espacio vectorial". Los axiomas definen la interfaz de la clase; los teoremas que se derivan de estos axiomas exploran, en efecto, los tipos de cálculos que se pueden realizar utilizando únicamente las operaciones proporcionadas por la interfaz (más algo de lógica básica, etc.). Al demostrar que un objeto matemático satisface los axiomas, no estás tratando de calcular las características de la interfaz a partir de nada más; más bien, estás tratando de demostrar que ese objeto implementa que la interfaz . Para ello, hay que identificar qué operaciones del objeto (¡si es que hay alguna!) corresponden a qué operaciones de la interfaz (¡y -cada operación de la interfaz tiene que coincidir!), y demostrar que las operaciones que coinciden se "comportan" igual.