Puedo graficar la parábola $y = x^2 + 1$ . Veo que no se cruza con el $x$ -y, por lo tanto, debe tener raíces complejas, a saber $+i$ y $-i$ . Puedo trazar estas raíces en un diagrama de Argand en $(0, +1)$ y $(0, -1)$ .
Mi pregunta es la siguiente: ¿se intuye cómo se relaciona la gráfica de una función con la gráfica de sus raíces en el diagrama de Argand?
Sí, puedes encontrar las raíces complejas de una ecuación cuadrática a partir de su gráfica. Voy a citar un libro muy bueno que quizás quieras leer, Un cuento imaginario: la historia de $\sqrt{-1}$ por Paul J. Nahin .
Digamos que tenemos un polinomio cuadrático $f(x)=ax^2+bx+c$ . Supongamos que el discriminante $b^2-4ac$ es negativo, por lo que hay dos raíces complejas conjugadas $p \pm i q$ . Ahora, como es el caso, también podemos escribir el polinomio cuadrático como
$$f(x) = a(x-p-iq)(x-p+iq) = a[(x-p)^2+q^2] \; .$$
A partir de esto, vemos que si $a>0$ el polinomio tiene un mínimo en $p$ y si $a<0$ el polinomio tiene un máximo en $p$ . El valor de ese extremo es en ambos casos $aq^2$ . Ahora, desde ese extremo, trazamos una línea vertical hasta $2 aq^2$ en la coordenada y. A partir de ahí, trazamos una horizontal hacia la derecha hasta cruzar la parábola, el punto al que llegamos tiene coordenada x $p+q$ porque
$$\begin{eqnarray}2aq^2 & = & a[(x-p)^2+q^2] \\ aq^2 & = & a(x-p)^2 \\ q & = & \pm(x-p)\end{eqnarray}$$
y como ya hemos encontrado $p$ encontramos las raíces complejas.
El libro también describe cómo hacer esto para un cúbico. Es un libro muy bonito, definitivamente vale la pena tenerlo en tu estantería.
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