¿El volumen de un tetraedro está determinado por las superficies de las caras?

Question

Estoy buscando una fórmula: $V=f(S_1,S_2,S_3,S_4)$ , donde $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ y $S_4$ son las áreas de las cuatro caras.

Sabemos que $V=\dfrac{S_1.h_1}{3}=\dfrac{S_2.h_2}{3}=\dfrac{S_3.h_3}{3}=\dfrac{S_4.h_4}{3}$ , donde $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ y $h_4$ son las altitudes correspondientes.

Así que tenemos que encontrar

$h_1=g(S_2,S_3,S_4)$

$h_2=g(S_1,S_3,S_4)$

$h_3=g(S_1,S_2,S_4)$

$h_4=g(S_1,S_2,S_3)$

Además, si todos los puntos del tetraedro están en un plano, el volumen debería ser cero. Por lo tanto,

• En primer lugar, si la proyección del punto está fuera de $S1$ Zona, $S_1+S_2=S_3+S_4$ entonces $V=0$

• Si la proyección del punto está en $S1$ Zona, $S_1=S_2+S_3+S_4$ entonces $V=0$

Entonces, ¿podemos determinar a partir de las áreas si el volumen es cero o no?

¿Es posible encontrar $V=f(S_1,S_2,S_3,S_4)$ ? ¿Es suficiente la información de la superficie para crear un volumen cerrado único?

Muchas gracias por los consejos y las respuestas.

Answer 1

El volumen de un tetraedro no puede determinarse a partir de las superficies de las caras. Proporcionaré una familia de contraejemplos.

Un tetraedro se llama equifacial si sus cuatro caras son triángulos congruentes. Equivalentemente, un tetraedro es equifacial si sus aristas opuestas tienen la misma longitud.

Partiendo de un triángulo cualquiera en el plano, se puede intentar "pegar" cuatro copias del triángulo de forma obvia para obtener un tetraedro. Este proceso tiene las siguientes propiedades:

• Si se parte de un triángulo equilátero, el resultado es un tetraedro regular.
• Si se parte de un triángulo agudo, el resultado es un tetraedro equifacial.
• Si se parte de un triángulo rectángulo, el resultado es un tetraedro "degenerado" con volumen cero.
• Si empiezas con un triángulo obtuso, no puedes hacer un tetraedro.

Ahora, es posible deformar continuamente un triángulo equilátero en un triángulo rectángulo sin cambiar el área. Por lo tanto, ¡es posible deformar continuamente un teraedro regular en un tetraedro degenerado sin cambiar las áreas de las caras!

La siguiente animación muestra este proceso:

Todos los tetraedros mostrados en esta animación tienen caras con área 1, pero el volumen disminuye continuamente desde aproximadamente $0.41$ a $0$ .

Por supuesto, los tetraedros equifaciales no son el único contraejemplo posible. De hecho, para cualquier cuádruple permitido $(S_1,S_2,S_3,S_4)$ de áreas, debería haber todo un intervalo de valores posibles para el volumen.