Matriz racional con raíces de todos los grados

Question

Como resultado de otra pregunta , ahora borrado, estoy interesado en el siguiente problema.

Problema. Sea $A\in M_n(\mathbb Q)$ sea una matriz invertible con la propiedad de que la ecuación $X^k=A$ tiene soluciones (en $M_n(\mathbb Q)$ ) para cualquier $k\ge 1$ . Demostrar que todos los valores propios de $A$ son iguales a $1$ . (Este es el problema propuesto 398 en la página 36 de esta revista .)

Observaciones. 1. La pregunta es la $\mathbb Q$ -de un conocido problema de concurso de matrices en $M_n(\mathbb Z)$ . (En ese caso la conclusión es más fuerte, y tenemos $A=I_n$ .)
2. Lo contrario también es válido.

No conozco una prueba del problema principal, ni tampoco de las observaciones. Agradecería cualquier comentario al respecto.

Answer 1

De lo que sigue se deduce el resultado requerido. Véase también la OBSERVACIÓN al final del post.

Prop. 1. Sea $A\in M_n(\mathbb{Q})$ siempre que exista una secuencia creciente de números enteros $(k_i)_i$ s.t. para cada $i$ existe $B_i\in M_n(\mathbb{Q})$ satisfaciendo $B_i^{k_i}=A$ . Entonces $A$ es similar a $diag(0_p,L_{n-p})$ s.t. hay $r$ satisfaciendo $L^r=I+N$ donde $N$ es nilpotente.

Def: Sea $u$ sea un número algebraico distinto de cero con polinomio mínimo $a_0\Pi_{k=1}^n(X-u_k)$ . Su medida Mahler (cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Mahler_measure ) es $M(u)=|a_0|\Pi_{k=1}^n\max\{1,|u_k|\}$ ; su altura es $H(u)=M(u)^{1/n}$ . Entonces $M(u)\geq 1$ y $M(u)=1$ si $u$ es una raíz de la unidad. Además $H(u^k)=H(u)^k$ .

Lemma (debido a Dobrowski): Si $u$ no es una raíz de la unidad, entonces $M(u)\geq 1+\dfrac{1}{(20\log(n))^3}$ .

Prop. 2. Sea $\omega$ sea un número algebraico no nulo de grado $\leq n$ siempre que exista una secuencia creciente de números enteros $(k_i)_i$ s.t. para cada $i$ existe una $\alpha_i$ de $degree \leq n$ satisfaciendo $\alpha_i^{k_i}=\omega$ . Entonces $\omega$ es una raíz de unidad.

Prueba . Para cada $i$ , $H(\omega)^{1/k_i}=H(\alpha_i)$ . Entonces $M(\alpha_i)\leq H(\omega)^{n/k_i}<$ (para $i$ suficientemente grande) $1+\dfrac{1}{(20\log(n))^3}$ . Según el lema $\alpha_i$ es una raíz de la unidad y $\omega$ también. $\square$

Prueba de la proposición 1. Parte 1. Sea $\lambda$ sea un valor propio distinto de cero de $A$ es algebraica de grado $\leq n$ . Para cada $i$ existe un valor propio $\mu$ de $B_i$ s.t. $\mu^{k_i}=\lambda$ y $\mu$ es algebraico de grado $\leq n$ . Según la Proposición 2, $\lambda$ es una raíz de unidad.

Parte 2. A continuación, $A$ es similar a $diag(M,U)$ donde $M$ es nilpotente y $U^r=I+N$ para algunos $r$ . Hay $k\geq n$ s.t. $B^k=A$ . S $AB=BA$ , $B=diag(P,V)$ ya que $P^k=M$ , $M=0$ . $\square$

OBSERVACIÓN 1. Hay una respuesta completa a la pregunta requerida en los Mensajes 4 y 7 (por grobber) en http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?search_id=909877333&t=42444

OBSERVACIÓN 2. También hay una respuesta completa (en francés) en la revista francesa: p.180-184,2,Janvier 2007, RMS.