¿Cuál es la predual de $L^1$

Question

¿Existe una buena caracterización del predual de $L^1$ ? Entonces, ¿qué hace el espacio $X$ tal que $X^*=L^1$ donde la estrella denota el dual de un espacio de Banach. Cómo se empieza a encontrar tales preduales en general?

Para cierto contexto, es bien sabido que dado un espacio de medidas $(S, \Sigma, \mu)$ , $L^p := L^p(S, \mu)$ es un espacio de Banach para $p\in (1,\infty)$ y que $L^p \cong (L^q)^*$ donde $q$ es el conjugado de Holder de $p$ es decir $\frac 1p + \frac 1q =1$ . También se sabe que $L^1$ es el predual de $L^\infty$ . Esto deja las preguntas anteriores como único caso pendiente.

En $S$ es (por ejemplo) finito, por supuesto que la cuestión es discutible. Si lo desea, puede considerar sólo un espacio de medidas muy simple, como $[0,1]$ con la medida de Lebesgue.

Answer 1

De hecho, $L_1[0,1]$ no tiene predual. Más es verdad: $L_1$ no se puede incrustar es un espacio dual separable. Véase, por ejemplo, Teorema 6.3.7 en Kalton y Albiac Teoría de los espacios de Banach .

Answer 2

Banach-Alaoglu-Bourbaki : Para $X$ un espacio de Banach, la bola unitaria cerrada de $X^*$ es débil*-compacto.

Krein-Milman : Para $X$ un espacio vectorial topológico localmente convexo, y $K$ un subconjunto convexo compacto, $K$ es el casco convexo cerrado de sus puntos extremos.

Supongamos que $X^* = L^1[0,1]$ . Por BAB, la bola unitaria cerrada de $L^1[0,1]$ es débil*-compacto. Además, las topologías débiles* son siempre localmente convexas (véase, por ejemplo, aquí ) y $L^1[0,1]$ es claramente convexa por lo que Krein-Milman da que es el casco convexo cerrado de sus puntos extremos.

Pero la bola unitaria cerrada de $L^1[0,1]$ no tiene puntos extremos: Supongamos $\|f\|_1 = \alpha \leq 1$ , $f \neq 0$ . Entonces $H(s) = \int_0^s |f(t)| \, dt$ es una función continua, con $H(0) = 0$ y $H(1) = \alpha$ . Por lo tanto, hay $s_0 \in (0,1)$ con $H(s) = \frac{\alpha}{2}$ por lo que $$g(t) = 2f \chi_{[0,s_0]} \quad h(t) = 2f \chi_{[s_0,1]}$$ que satisfagan $\|g\|_1 = \|h\|_1 = \|f\|_1 = \alpha$ y $\frac{1}{2}(g + h) = f$ Así que $f$ no es un punto extremo. Claramente $0$ tampoco es un punto extremo, por lo que la bola unitaria de $L^1[0,1]$ no tiene puntos extremos.

Por lo tanto, tenemos una contradicción, y $L^1[0,1]$ no tiene predual.