Imagen de un conjunto de medida cero cero, con una medida

Question

Estoy estudiando para mi final y se quedó atascado en el siguiente problema, desde el año anterior. Puse mi intento de abajo.

Supongamos que $I\subset \mathbb{R}$ es un intervalo abierto, $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en a $I$ y su derivada es continua en a $I$. Si $a,b\in I$ $E\subseteq [a,b]$ es de la medida de Lebesgue cero, muestran que $f(E)$ es un conjunto de medida de Lebesgue cero.

Creo que, desde el $E$ es un conjunto de medida cero para cada $\varepsilon>0$, hay una contables de cobertura de $E$ con distinto abrir los intervalos de $E\subset \cup_{i\geq 1} U_i$ donde $|U_i|=d_i$, por lo que el $\sum_{i=1}m^\ast(U_i)=\sum_{i=1} d_i<\varepsilon$, entonces: $$ m^\ast(f(E))\leq \sum_{i=1} m^\ast(f(U_i))\leq \sum_{i=1}|(f(u_{i1}),f(u_{i2}))|=\sum_{i=1}|f(u_{i1})-f(u_{i2})|\leq \sup_{a\leq t\leq b}|f'(t)| \varepsilon, $$ por lo $m^\ast(f(E))$ tiene medida cero como $f'$ está delimitada en $[a,b]$.

Howerver, no estoy seguro de por qué,$\sum_{i=1} m^\ast(f(U_i))\leq \sum_{i=1}|(f(u_{i1}),f(u_{i2}))|$.

También estoy tratando de ver por qué esto implicaría que para un conjunto $E\subseteq I$ con medida cero, $f(E)$ es un conjunto de medida cero.

Answer 1

Esencialmente, usted está tomando $ E\subset U $ $m^*(U)<\epsilon $ donde WLOG $U = \cup_i(a_i,b_i) $ para dichos intervalos disjuntos y, a continuación, la estimación de $$ \sum_i |f(b_i)-f(a_i)| = \sum_i |\int^{b_i}_{a_i}f'(t)dt| \leq \sum_i \int^{b_i}_{a_i}|f'(t)|dt = \int_U |f'(t)|dt \leq \epsilon \sup |f'(t)| $$ Pero como muy bien dudaba de que, a pesar de $U = \cup_i(a_i,b_i) $, esto no necesariamente implica $f(U) \subset \cup_i(f(a_i),f(b_i)) $ desde la que se puede llegar a la conclusión de arriba $$ m^*(f(U))\leq \sum_i |f(b_i)-f(a_i)| \leq \epsilon \sup|f'(t)| $$ Sin embargo, la implicación es verdadera para monótonamente creciente de funciones. Y de hecho, por su función puede ser expresada como diferencia de dos funciones crecientes, de modo que hacer el cálculo para funciones crecientes es lo suficientemente bueno.Para ver esta última afirmación es necesario definir la variación total, como sigue $$ g(x) = V^x_a(f) = \sup\{\ \sum_i|f(x_i)-f(x_{i-1})| \ a= x_0 <x_1<...<x_n = x\} $$ Where the sup is taken over all partitions. So you can observe that for $ a < x<y\leq b $ ha $$ V^y_a(f) = V^x_a(f) + V^y_x(f) $$ which makes $g $ increasing, and also observe $ |f(y) -f(x)| \leq V^y_x(f) = V^y_a(f)-V^x_a(f) $ and hence $ g(y)-f(y) \geq g(x)-f(x) $ making $ g-f $ also increasing, and $ f = g (g-f) $ and you can estimate $ g(U) $ and $ (g-f)(U) $ por separado.