¿Qué grupos son subgrupos derivados?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo. Cuando hay un grupo $H$ tal que $G$ es isomorfo a su subgrupo derivado $H'$ ?

Sólo sé que no siempre existe tal $H$ por ejemplo, ningún grupo tiene su subgrupo derivado isomorfo a $\mathfrak{S}_n$ para $n \geq 4$ y $n \neq 6$ .

Answer 1

Este es un caso que puedes descartar. Decimos que un grupo es completa cuando $Z(G) = 1$ y $\operatorname{Aut}(G) = \operatorname{Inn}(G)$ .

Es un hecho: Si $G$ es completa y $G' \neq G$ entonces $G$ no es isomorfo a un subgrupo conmutador $H'$ .

Prueba: Supongamos que $H' = G$ . Desde $G \trianglelefteq H$ es completa, se deduce que $H = G \times C_H(G)$ . Aquí $C_H(G)$ es abeliano porque $H' = G$ . Así, $H' = G' \times C_H(G)' = G'$ lo que nos da la contradicción $G = G'$ .

Obsérvese que esto demuestra que $\mathfrak{S}_n$ nunca es un subgrupo conmutador para $n \geq 3$ y $n \neq 6$ . Entonces, ¿qué pasa con $\mathfrak{S}_6$ ?

Answer 2

Esta es otra razón para $\mathfrak{S}_3$ :

Propuesta: Si $H$ es un grupo con un subgrupo característico $K$ con grupo de automorfismo abeliano, pero $K$ no está contenido en el centro de $H$ entonces $H$ no es el subgrupo derivado de ningún grupo.

Prueba: Desde $K$ es característico en $H$ , $K$ es normal en $G$ . Existe un homomorfismo de $G$ al grupo de automorfismo de $K$ . Dado que el grupo de automorfismo de $K$ es abeliano, debemos tener que $H$ está en el núcleo de este homomorfismo. Sin embargo, eso sólo significa $K$ está contenida en el centro de $H$ . $\square$

Esto demuestra que los grupos diedros (de orden al menos 6) no son subgrupos derivados. Su subgrupo $K$ de las rotaciones son características y cíclicas, por lo que la proposición es válida.