$-1$ es un módulo de residuos cuadrático $p$ si y sólo si $p \equiv 1 \pmod {4}$

Question

Me encontré con este problema y creo que el teorema de Lagrange es la clave para su solución. La cuestión es:

Deje que $p$ ser un impar Prime. Demuestra que hay algún número entero $x$ de tal manera que $x^2 \equiv −1 \pmod p$ si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 4$ .

Agradezco cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Si tal elemento existe, tendría orden $4$ así que por el teorema de Lagrange $4|p-1$ y así $p \equiv 1 \mod 4$ .

Si $p \equiv 1 \mod 4$ podemos usar El teorema de Wilson para escribir explícitamente un elemento que se cuadra a $-1$ : $$ -1 \equiv (p-1)! \equiv 1 \cdot\ldots\cdot \frac {p-1}{2} \frac {p+1}{2} \cdot\ldots\cdot (p-1) \equiv\left ( \left ( \frac {p-1}{2} \right )! \right )^2 \cdot (-1)^{ \frac {p-1}{2}} \equiv\left ( \left ( \frac {p-1}{2} \right )! \right )^2 $$

Answer 2

Hay una versión un poco más general de este resultado: si un campo finito tiene un número impar $q$ de elementos, entonces la ecuación $x^2+1=0$ tiene una solución en el campo si y sólo si $q \equiv1\pmod4 $ . En su caso, por supuesto, puede tomar $ \mathbb Z/p \mathbb Z$ como un campo finito, en cuyo caso $q=p$ .

Aquí hay una simple prueba. Agrupa todos los elementos no cero de tu campo en paquetes $\{a,-a,a^{-1},-a^{-1}\}$ . Es fácil ver que si se hubiera generado el paquete a partir de cualquiera de sus tres elementos que no sean $a$ seguiría dando el mismo paquete. En otras palabras, uno tiene particionado el $q-1$ elementos no cero en paquetes. Sin embargo, no todos los paquetes tienen cuatro elementos distintos: aunque no puede suceder que $a=-a$ (ya que $q$ es impar), puede suceder que $a=a^{-1}$ o que $a=-a^{-1}$ en ambos casos el paquete tiene dos elementos en lugar de cuatro.

Ahora $a=a^{-1}$ sucede si y sólo si $a^2=1$ y desde que $a^2-1=(a-1)(a+1)$ esto ocurre precisamente para $a=1$ y $a=-1$ dando un paquete de este tipo, sin importar el campo. Para el otro tipo $a=-a^{-1}$ esto sucede si y sólo si $a^2=-1$ . Eso no tiene por qué ocurrir, pero si ocurre, hay precisamente dos soluciones a esta ecuación cuadrática, que juntas definen un solo paquete de este segundo tipo. Ahora bien, como todos los paquetes restantes son de tamaño $4$ y todos los tamaños de paquetes suman $q-1$ se ve fácilmente que un paquete del segundo tipo existe si y sólo si $q-1$ es un múltiplo de $4$ .

Answer 3

Una alternativa a las otras pruebas (perfectamente buenas) ya sugeridas es la siguiente. Usamos que el grupo $ \mathbb {Z}_p^*$ de unidades del anillo $ \mathbb {Z}_p$ es cíclico de orden $p-1$ y considerar su generador $a$ . Entonces como $(a^{ \frac {p-1}{2}})^2=1$ y $ \mathbb {Z}_p$ es un dominio integral, ya sea $a^{ \frac {p-1}{2}}=1$ o $a^{ \frac {p-1}{2}}=-1$ y debemos estar en el segundo caso ya que $a$ tiene orden $p-1$ .

Ahora $-1 \in\mathbb {Z}_p^*$ es un cuadrado si y sólo si es una potencia uniforme de $a$ así que sustituyendo $4n+1$ y $4n+3$ para $p$ en lo anterior le dice que esto sólo ocurre si $p=4n+1$ .

Answer 4

El suelo proporciona una fuerza normal a la pelota. Esa fuerza es una restricción . Evita que la bola continúe hacia abajo. Las fuerzas de restricción proporcionan la fuerza necesaria para mantener la restricción. Por ejemplo: un libro en una mesa. Independientemente del peso del libro, la mesa es capaz de proporcionar exactamente la fuerza adecuada para contrarrestar la gravedad. El mecanismo de la fuerza normal es la elasticidad de la mesa (o del suelo). Piense en los átomos como bolas y en las uniones entre ellos como resortes. La capa superior de los resortes se comprime lo suficiente para proporcionar la fuerza necesaria.

En el caso de la bola lanzada, la fuerza normal tiene que acelerar la bola en dirección ascendente. Es decir, proporciona una fuerza mayor que el peso de la bola.

¿Cómo es que esos resortes "saben" cuánta fuerza deben proporcionar? Los resortes se comprimen por la acción del KE de la bola. Sin pérdidas (elástico) todo ese KE se convierte en el PE de los resortes, y luego regresa de nuevo a la pelota, de modo que rebota con la misma velocidad con la que golpeó el suelo.

Answer 5

$-1 \equiv x^2\ mod\ p$ implica que $(-1)^{ \varphi (p)/2} = 1$ . Este resultado se desprende del criterio de Euler de que para cualquier $ \alpha \in Z_p^*$ si $ \alpha \in (Z_p^*)^2$ Entonces $ \alpha ^{ \varphi (p)/2} = 1$ y si $ \alpha \notin (Z_p^*)^2$ Entonces $ \alpha ^{ \varphi (p)/2} = -1$ .
Así que para $Z_p^*$ Tenemos $ \varphi (p) = p-1$ . Por lo tanto $ \varphi (p)/2 = (p-1)/2$ .
Si $p \equiv 1\ (mod\ 4)$ Entonces $(p-1)/2$ es parejo y si $p \equiv 3\ (mod\ 4)$ entonces $(p-1)/2$ es impar.
Así que si $p \equiv 1\ (mod\ 4)$ Entonces $(-1)^{(p-1)/2} = 1 \implies -1 \in (Z_p^*)^2$ .