Función completa $f(z)$ limitado para $\mathrm{Re}(z)^2 > 1$ ?

Question

Dejemos que $z$ sea un número complejo y $\mathrm{Re}$ denotan la parte real.

¿Existe una función entera no constante $f(z)$ tal que $f(z)$ está acotado para $\mathrm{Re}(z)^2 > 1$ ?

Answer 1

Observa la función f definida en el apartado 12.2 aquí En el análisis complejo, por Joseph Bak y Donald J. Newman.

Define una función completa $f$ delimitado fuera de la franja $|\mathrm{Im}(z)|\leq \pi$ y mediante una transformación lineal adecuada, a saber $\theta(z)=i\pi z$ es posible conseguir la función que desea, $f\circ \theta$ .

$$f(z)=\int_0^\infty \frac{e^{zt}}{t^t}\mathrm{d}t$$

Answer 2

Una afirmación más general se deriva de un teorema de aproximación debido a Alice Roth que se encuentra en el libro Conferencias sobre aproximación compleja por Dieter Gaier.

Teorema . Supongamos que $F\subset \mathbb{C}$ es un conjunto cerrado tal que su complemento es conexo y localmente conexo en $\infty$ . Sea $f$ sea una función holomorfa en un subconjunto abierto que contenga a $F$ . Entonces para cada $\epsilon>0$ existe una función entera $g$ s $$|f(z)-g(z)| < \min(\epsilon, |z|^{-1}),\quad z\in F$$

Por ejemplo, dejar que $F=\{z: |\operatorname{Re} z|\ge 1\}$ y $f(z)=1/z$ produce una función entera no constante que está acotada en $F$ (y también tiende a cero alejándose de una franja horizontal).

Pero se puede ir más lejos y dejar, por ejemplo, $F=\{x+iy: |y|\ge \exp(-x^2)\}$ es decir, la franja infinita puede estrecharse hasta el infinito, con la cadencia que se desee.