Límite de algunos integral

Question

Mi pregunta es ¿cómo encontrar: $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_0^n \frac {1}{n+n^2\sin(xn^{-2})} dx $? He probado con un teorema de convergencia dominada, pero no funcionó. Ahora, yo lo absolutamente ninguna idea de lo que puedo hacer para resolverlo. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Se intenta la sustitución de $y = {x \over n}$? Que se parece mucho más fácil evaluar a mí.

Answer 2

Si cambia la variable con $u=x/n^2$, se obtiene $$ I_n=\int_0^{1/n}\frac{du}{\sen u+\frac{1}{n}}. $$

Ahora coger $\epsilon>0$.

Para $n$ lo suficientemente grande $$ (1-\epsilon)u\leq \pecado u\leq u $$ para todos los $u$$[0,1/n]$.

Así $$ \log 2=\int_0^{1/n}\frac{du}{u+\frac{1}{n}}\leq I_n\leq \int_0^{1/n}\frac{du}{(1-\epsilon)u+\frac{1}{n}}=\frac{\log(2-\epsilon)}{1-\epsilon} $$ para todos los $n$ lo suficientemente grande.

Así $$ \log 2\leq \liminf I_n\leq\limsup I_n\leq \frac{\log(2-\epsilon)}{1-\epsilon}. $$

Dejando $\epsilon$ tienden a $0$, obtenemos $$ \lim I_n=\log 2. $$