Valor esperado infinito de una variable aleatoria

Question

¿Cómo puede una variable aleatoria positiva $X$ que nunca toma el valor $+\infty$ tienen un valor esperado $\mathbb{E}[X] = +\infty$ ?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria que sea igual a $2^n$ con probabilidad $2^{-n}$ (para un número entero positivo $n$ ). Entonces $${\mathbb E} X = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \cdot 2^n = \sum_{n=1}^\infty 1 = \infty.$$

Distribución de Cauchy es un ejemplo de una distribución continua que no tiene una expectativa.

Answer 2

Cuando se consideran experimentos probabilísticos con infinitos resultados, es fácil encontrar variables aleatorias con un valor esperado infinito. Consideremos el siguiente ejemplo (que no es más que un juego que da lugar a un ejemplo similar al que proporcionó Yuri):

• Se lanza una moneda hasta que sale cruz.
• A continuación, se le paga $2^{n}$ dólares, donde $n$ es la cantidad de cabezas que tienes.

Es fácil construir la función de valor esperado de su pago (llamémosla $X$ ):

$$E[X] = \frac{1}{2} \times 2^0 + \frac{1}{4} \times 2^1 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}\times 2^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} = \infty $$

Este juego también se conoce como La paradoja de San Petersburgo . ¿Por qué ocurre esto y cómo podemos interpretarlo?

Desde el punto de vista de la construcción, es más fácil de entender. En este caso particular, la probabilidad de cada resultado disminuye exponencialmente. Como el número de resultados es infinito, el esquema de pagos sólo tiene que crecer al mismo ritmo que disminuye la probabilidad del resultado para que la serie diverja.

Lo que esto significa en la práctica es que, aunque el pago es siempre finito, si se hace una media de los pagos de $k$ partidos consecutivos, esta media será (con alta probabilidad) más alta cuanto mayor sea $k$ es. Como $k$ se acerca al infinito, también lo hace la media de los $k$ de los pagos. Detrás de este crecimiento ilimitado está el hecho de que cada vez que se produce un resultado improbable, el pago es tan grande que, cuando se promedia con el pago de los resultados más probables, la media está sesgada hacia arriba.

Answer 3

En tus comentarios, preguntabas cómo la suma de cosas finitas (o productos de cosas finitas con otras cosas finitas) puede dar lugar a algo infinito. Esto no debería ser demasiado contradictorio; la idea es que estás sumando infinitamente muchas de esas cosas finitas. En todo caso, es contraproducente que a veces se puedan sumar infinitas cosas y obtener un resultado finito.

Sin embargo, estoy de acuerdo en que la idea de un juego como el de San Petersburgo parece contraproducente. En parte puede deberse a la palabra "expectativa". En el uso común, cuando esperamos que algo ocurra, pensamos que es más probable que ocurra que no. Pero en el ámbito de la probabilidad, es evidente que no es así, porque estamos tomando una media ponderada de los posibles resultados, y la propia media ponderada puede ser un resultado improbable o incluso imposible. Por ejemplo, cuando tiras un dado, "esperas" que el valor del número mostrado sea 3,5, aunque sabes que eso nunca ocurrirá. Del mismo modo, podemos "esperar" que el resultado de un experimento sea infinito, aunque sepamos que será finito. Puede que esta explicación no satisfaga del todo tu intuición, pero al menos es un comienzo.