Hay no evidente colimits finito de abelian grupos?

Question

Hace el olvidadizo functor $U : \mathsf{FinAb} \to \mathsf{Ab}$ desde finito abelian grupos de abelian grupos de preservar colimits?

Moralmente esto debe ser cierto, pero no es tan fácil (para mí) para venir para arriba con una prueba interesante. Si $(A_i)$ es un diagrama de finito abelian grupos, asumiendo que su colimit $\mathrm{colim}_i A_i$ $\mathsf{FinAb}$ existe, tenemos que mostrar que la canónica homomorphism $$\mathrm{colim}_i U(A_i) \to U(\mathrm{colim}_i A_i)$$ es un isomorfismo. Ignorando olvidadizo functors (que es una fuente de muchas confusiones, por cierto), esto puede ser visto como la declaración de que el colimit en $\mathsf{FinAb}$ "es" el habitual de $\mathsf{Ab}$. Y obviamente, esto es equivalente a la afirmación de que $\mathrm{colim}_i U(A_i)$ "es" de un número finito de abelian grupo. Así que mi pregunta aproximadamente dice: hay no-obvio colimits en $\mathsf{FinAb}$? Probablemente no.

Por ejemplo: supongamos $I$ ser un conjunto infinito y $(A_i)$ una familia finita abelian grupos, cada ser no trivial, sin pérdida de generalidad. Suponga que $\bigoplus_{i \in I} A_i$ existe en $\mathsf{FinAb}$. El uso de la universal de los bienes, podemos construir un split epimorphism de $\bigoplus_{i \in I} A_i$ a cada subproducto $\bigoplus_{i \in F} A_i$ donde $F \subseteq I$ es finito, lo que sin duda existen y se conservan por $U$. Pero, a continuación, $\bigoplus_{i \in I} A_i$ tiene al menos tantos elementos como todos los $\bigoplus_{i \in F} A_i$, el cual tiene al menos $2^{\# F}$ elementos, una contradicción. Por lo $I$ debe ser finito, y claramente finito co-productos son conservados por $U$.

Coequalizers existen en $\mathsf{FinAb}$ y se conservan por $U$. Ahora puede utilizar el siguiente (que yo creía algunos) "bien conocido Teorema":

Deje $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ser un functor que conserva coequalizers y co-productos. A continuación, $F$ conserva colimits.

Pero ¿es esto realmente cierto? Con el fin de descomponer un colimit en un coequalizer de un adecuado par de mapas entre los co-productos, tenemos que asumir que estos co-productos de existir, lo cual no es automáticamente el caso. Que el teorema es cierto cuando se $\mathcal{C}$ co-productos, pero por lo demás es claro para mí. (¿ Alguien tiene un contraejemplo?)

Así, por $U : \mathsf{FinAb} \to \mathsf{Ab}$ tenemos que encontrar algún argumento diferente. También tengo curiosidad, ¿qué sucede para los desmemoriados functor $\mathsf{FinGrp} \to \mathsf{Grp}$.

Answer 1

Afirmo que el colimit de la secuencia de inclusiones $\frac{1}{1!}\mathbb{Z}\,/\,\mathbb{Z} \hookrightarrow \frac{1}{2!}\mathbb{Z}\,/\,\mathbb{Z} \hookrightarrow \frac{1}{3!}\mathbb{Z}\,/\,\mathbb{Z} \hookrightarrow \dotsc$ existe en $\mathsf{FinAb}$. Es decir, es igual a cero, en contraste con la colimit en $\mathsf{Ab}$,$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Esto es equivalente a la siguiente declaración:

Deje $A$ ser un número finito de abelian grupo que contiene una secuencia de elementos $x_1,x_2,\dotsc$ tal que $n! x_n = 0$ $(n+1) x_{n+1} = x_n$ todos los $n \geq 1$. A continuación, $x_n=0$ todos los $n \geq 1$.

Prueba. Porque de $x_{n+1}=0 \Rightarrow x_n=0$, es suficiente para demostrar $x_n=0$ para infinidad de $n$. Así que podemos suponer que la $\mathrm{ord}(A)$ divide $n+1$. Pero, a continuación, $x_n=(n+1) x_{n+1} = 0$ del Teorema de Lagrange. $\square$

De ello se desprende que el olvidadizo functor $U : \mathsf{FinAb} \to \mathsf{Ab}$ conserva co-productos y coequalizers, pero no preservar colimits de secuencias, y por lo tanto no es cocontinuous.

(La declaración de que un functor, que conserva co-productos y coequalizers, es cocontinuous, se puede encontrar en muchos libros y referencias en línea. Estos deben ser corregidos.)

PS: lo Siento por responder a mi propia pregunta.