En primer lugar, de toro con periódica de la condición de límite, hay dos cero modos, básicamente constante spinor campos, y "2" es porque: el spinor representación de $\operatorname{SO}(2)$ es de dos dimensiones. O usted puede pensar en "2" como una izquierda spinor campo y una mano derecha spinor campo. Sin embargo, inmediatamente se ve que el cero modos no son "robustas". Si decidimos elegir otros 3 tipos de giro de la estructura, no hay modo cero. En este sentido, el modo cero en sí no es robusto. En su lugar, se puede demostrar, el Índice de Dirac, básicamente cero", de modo" de la mano izquierda menos cero", de modo" de la mano derecha es una invariantes topológicos (c.f. Atiyah-Singer(AS) Índice teorema de, por ejemplo, ver wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Atiyah-Singer_index_theoremaplicando a operador de Dirac).
El índice teorema de Dirac operador se relaciona Dirac Índice de curvatura términos, más precisamente,
\begin{eqnarray}
\operatorname{Index}=\int_M \hat{A}(TM) ch(V)
\end{eqnarray}
Resumiendo, Un sombrero(a veces llamado Un techo, consulte: https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_of_a_multiplicative_sequence#.C3.82_genus) el género es "gravitacional" contribución, $\hat{A}=1-\frac{1}{24}p_1+\ldots$. En la dimensión 2, Una es trivial, por lo que la única contribución proviene de Chern personaje (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class#The_Chern_character) $ch(V)=1+F+\ldots$, de vector complejo paquete de $V$. Por lo que esto implica, si usted tiene un "monopolo magnético" en el interior de su toro, debe haber un modo cero. Debido a que el índice teorema implica, aunque un par de cero modos puede ser levantado, el uno siempre está ahí.
Vamos a explicarlo en su ejemplo más detaily. Lleve a su toro y parametrizar por dos coordenadas: $\theta \in [0,2\pi]$ periodo $2\pi$ $t \in [0,1]$ periodo $1$. El spinor representación de $SO(2)$ es de dos dimensiones, por ejemplo, las matrices de pauli $\gamma^\theta=\sigma_2$$\gamma^t=\sigma_1$. Quiral elemento $\gamma^c=i\gamma^t \gamma^\theta = -\sigma_3$ por lo Tanto, podemos escribir el operador de Dirac explícitamente:
$$\mathcal{D}=i \gamma^j \partial_j =\left(
\begin{array}{c c}
0 & i\partial_t+ \partial_\theta \\
i\partial_t- \partial_\theta & 0
\end{array}
\right)= \left(
\begin{array}{cc}
0 & D \\
D^\dagger & 0
\end{array}
\right)$$
donde$D=i\partial_t+\partial_\theta: \Gamma^+ \rightarrow \Gamma^-$$D^\dagger=i\partial_t-\partial_\theta: \Gamma^- \rightarrow \Gamma^+$. Y $\Gamma^+ \oplus \Gamma^- = \Gamma(\mathcal{S},T^2)$. También podemos torcer el spinor paquete por "U(1) medidor de campos" $\mathcal{A}$, con representaciones de vectores que forman un vector paquete de más de $T^2$, $V\rightarrow T^2$. El conjunto total se $\mathcal{S}\otimes V$, y el operador de Dirac es modificado, mediante la sustitución de $i\partial_j$ por la derivada covariante $i\partial_j - A_j$. Por ejemplo, se establece un campo magnético uniforme con el flujo total $2\pi$ "Landau" calibre: $A_\theta(\theta,t)=-t$$A_t(\theta,t)=0$. Por lo tanto, el trenzado de Dirac operador es:
\begin{eqnarray}
\mathcal{D}=\left(
\begin{array}{cc}
0 & i\partial_t-it+ \partial_\theta \\
i\partial_t+it- \partial_\theta & 0
\end{array}
\right)= \left(
\begin{array}{cc}
0 & D_A \\
D^\dagger_A & 0
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
donde$D_A=i\partial_t-it+\partial_\theta$$D_A^\dagger=i\partial_t+it-\partial_\theta$. Vamos a resolver la ecuación de Dirac $\mathcal{D}\psi=0$ en spinor campos toro con la condición de contorno:
\begin{eqnarray}
\psi(\theta,t)=\psi(\theta+2\pi,t), \quad \psi(\theta,t+1)=e^{i\theta}\psi(\theta,t)
\end{eqnarray}
El espacio de la solución de $\mathcal{D}\psi=0$ puede ser descompuesto en la mano izquierda de cero modos de $D_A\psi_L=0$ y la mano derecha de cero modos de $D^\dagger_A\psi_R=0$, y el índice es el número de la mano izquierda de cero modos de $n_L=\operatorname{dim}(\operatorname{ker} D_A)$ menos de la mano derecha de cero modos de $n_R=\operatorname{dim}(\operatorname{ker} D^\dagger_A)$. Ahora suponga $\psi_L \in \operatorname{ker} D_A$, por los modos de descomposición $$\psi_L=\sum_n c_n(t) e^{in\theta}, \quad \frac{dc_n(t)}{dt}-t c_n(t)+n c_n(t)=0 $$ so the t dependence of the coefficient $c_n(t)$ will be Gaussian type $c_n(t)=c_n e^{\frac{(n-t)^2}{2}}$, and constant $c_n$ will be fixed by boundary condition: $$c_{n+1}(t+1)=c_n(t)$$ therefore, $c_n=c$ for all $$ n y la solución:
\begin{eqnarray}
\psi_L(\theta,t)=c \sum_n \exp\left(\frac{(n-t)^2}{2}+in\theta \right)
\end{eqnarray}
sin embargo, la suma no es renormalizable, así que llegamos a la conclusión de $n_L=\operatorname{ker} D_A=0$. Del mismo modo, se puede solucionar $D^\dagger_A \psi_R=0$$\psi_R$, y la solución:
\begin{eqnarray}
\psi_R(\theta,t)=c \sum_n \exp \left(-\frac{(n-t)^2}{2}+in\theta \right)
\end{eqnarray}
esta función de onda es normalizable, por lo tanto,$n_R=1$. Así, El Índice De$=0-1=-1$. Para comprobar el índice de teorema, nos damos cuenta de la integral de la $\int_M \hat{A}(TM) ch(E)$ 2d reduce a $\frac{1}{2\pi} \int_{M} \mathcal{F}=-1={\rm Index}$ (la Explicación de la "$-1$" en la integral: se elige de izquierda a derecha handness por $\gamma^c=i\gamma^t \gamma^\theta$, por lo que podemos definir la forma de volumen a ser $dt \wedge d\theta$, por lo tanto, $\mathcal{F}= d (A_{\theta} (\theta,t) d \theta )=- dt \wedge d\theta$)
Este ejemplo se atribuye a Atiyah: Autovalores del operador de Dirac, por algo similar, pero con diferente propósito.
Por otro lado, si usted desea tener una puramente "gravitacional del modo cero", usted necesita encontrar un 4k (k entero) dimensiones del colector con trivial $\hat{A}$. Un simple y famoso ejemplo con un valor distinto de cero pontryagin número es $K3$ (https://en.wikipedia.org/wiki/K3_surface) a las 4 de la dimensión, que es también un spin colector.
