Es el Whitney incrustación teorema apretado para todos los $n$?

Question

Whitney incrustación teorema establece que cualquier liso $n$-colector $M$ puede ser fácilmente integrado en $\Bbb R^{2n}$. En la dimensión 1 este es apretado: el círculo no puede ser embebido en $\Bbb R^1$. Es un teorema que si $M^n \hookrightarrow \Bbb R^{n+k}$ es un buen incrustación, y $w(M)$ el total de Whitney clase de la tangente paquete de $M$,$(w(M)^{-1})_k = 0$. Ahora considere la dimensión$m = 2^n$;$w(\Bbb{RP}^m) = 1+a+a^m$, y, por tanto,$w(\Bbb{RP}^m)^{-1} = 1+a+a^2+\dots + a^{m-1}$. Por lo tanto $\Bbb{RP}^m$ no puede ser embebido en $\Bbb R^{2m-1}$, lo que demuestra la estanqueidad de la envolvente de estas dimensiones.

Pregunta: Es Whitney incrustación teorema apretado en todas las dimensiones? (Vamos a restringir a compacto colectores.)

Tenga en cuenta que los relacionados con la inmersión teorema, que es una inmersión $M^n \looparrowright \Bbb R^{2n-1}$, no proporcionar un apretado obligado para $n=3$, de acuerdo a esta página en el Colector de proyecto Atlas: todas las compactas $3$-colector se enfrasca en $\Bbb R^4$.

Answer 1

Como se hace referencia en los comentarios, este MathOverflow pregunta nos da la respuesta como no: todas las compactas $3$-colector incrusta en $\Bbb R^5$, como se demostró por la Pared. La Inmersión teorema da el resultado óptimo para inmersiones: todas las compactas $n$-colector incrusta en $\Bbb R^{2n-\alpha(n)}$ donde $\alpha(n)$ es el número de $1$s en $2$-ádico de expansión de $n$. $\Bbb{RP}^n$ no se puede incrustar en cualquier pequeño espacio Euclidiano, como se ve por la inspección de su Stiefel-Whitney clases.