El problema con $GL(V)$ simplemente como un grupo es que es grande y tiene un montón de salvajes representaciones. Por ejemplo, el campo de $\mathbb{C}$ tiene un montón de campo de automorfismos, el uso de ellos puede giro normal de cualquier representación y obtener algún extraño. Por lo que necesita para añadir algo de estructura en $GL(V)$ que desea conservar.
Estudio del polinomio representaciones corresponde a la comprensión de la $GL(V)$ grupo como una expresión algebraica de grupo. Esta es la elección natural si usted quiere tener una teoría sobre arbitraria (característica cero, algebraicamente cerrado) de campo. Hay otras versiones de la clasificación. Por ejemplo, se puede entender a $GL_n$ como una Mentira grupo y estudio de holomorphic representaciones. Los resultados no iba a cambiar. Hay un montón de resultados del tipo "las continuas representaciones de $U(n)$ extender a expresiones algebraicas de $GL(n)$". Así que, en general, la Schur-Weil teoría se extiende para cualquier razonable adicional de la estructura.
Por desgracia, yo no sé los ejemplos de los `raros" las continuas representaciones, pero intuitevely estoy seguro de que ellos no existen. Para mí, la representación $|det|^{\pi}$ es extraña bastante.
