El más bello y, sin embargo, las cosas elementales me di cuenta que cuando yo estaba aprendiendo los conceptos básicos fueron acerca de Yoneda Lema; estos no son "teoremas" en el sentido real del término, sino que son principios que uno ve en la acción de demostrar cosas.
- Hay algo que se llama Yoneda lema donde demostrar que, dado un functor contravariante $\mathcal C\to \bf Set$, la correspondencia $F\mapsto \text{Nat}(\hom(-,A),F)$ "actúa como una evaluación" que le da un conjunto con tanto elementos como $FA$. Aceptar a continuación, vamos a jugar a este juego donde se evalúa al objeto de $B$ el functor $\hom(-,B)$: tenemos que
$\text{Nat}(\hom(-,A),\hom(-,B))\cong \hom(A,B)$, es decir, que la correspondencia que envía un objeto a su representable presheaf es totalmente fiel.
- Yoneda Lema permite reducir declaraciones acerca de la complicada categorías a las declaraciones acerca de los conjuntos, o mejor decir, functors que tomar el valor en $\bf Set$. Esto es debido a que
en el punto anterior, le da una totalmente fieles functor $\mathcal C \to [\mathcal C^\text{op},\bf Set]$, *Yoneda incrustar" $A\mapsto \hom(-,A)$;
- hay una cosa que tal vez aprendido acerca de un "producto de $A,B$" en una categoría de un objeto, $P$ dotado de dos mapas de $A\leftarrow P\to B$ tal que blablabla; aceptar a continuación, vamos a alimentar a los Yoneda representable functor $\hom(X,-)$ con este diagrama: obtenemos algo que te dice que $\hom(X,P)$ es precisamente el producto (es decir, el conjunto teórico de producto, el que aprende en su primer día como estudiante de primer año en cualquier "cálculo 0" supuesto) de $\hom(X,A)$$\hom(X,B)$. Esto le da a usted que
$P\cong A\times B$ en categoría $\cal C$ si y sólo si para cualquier $X\in\cal C$ el conjunto $\hom(X,P)$ es en bijection el producto de $\hom(X,A)$$\hom(X,B)$, y este bijection es natural, es decir,. respeta el hecho de que puedo hacer que las flechas $Y\to X$, generando flechas $\hom(X,P)\to \hom(Y,P)$.
El mismo argumento (aunque es mucho más involucrado captar "visualmente") funciona bien para cualquier forma de diagrama: ecualizadores/kernels, pullbacks, y la inversa de los límites ... y correctamente dualized, funciona bien con colimits!
Cada vez que son capaces de caracterizar un objeto universal (es decir, un límite/colimit) en la categoría de conjuntos, entonces usted puede definir que muy universal del objeto en cualquier categoría de la explotación de la antigua principio: un objeto $K$ con mapas de $A_i\to K$ $\mathcal C$ es universal (es decir, un colimit para el diagrama de $F\colon i\mapsto A_i$) si y sólo si pasando sus flechas $A_i\to K$ a través de la yoneda incrustación $\hom(-,X)$, Puedo obtener el conjunto teórico de la universal (de hecho, el límite, ya que los $\hom(-,X)$ es contravariante), naturalmente, en $X$.
Todo lo que he dicho profundamente basa en el hecho de que usted está usando conjuntos. O tal vez no? Hay algo que se llama "enriquecido Yoneda lema", que es
la misma sentencia, pero por functors entre cualquiera de las $\bf Ab$enriquecido con categoría [donde cada una de las $\hom(X,Y)$ $\mathbb Z$- módulo] y la categoría de abelian grupos...
El Yoneda lema permite demostrar que uno de los resultados más útiles en la categoría básica de la teoría, a saber, que la izquierda/derecha adjunto functors preservar colimits/límites de cualquier forma. Yo aún no se puede estimar el número de veces que este simple comentario me salvó la vida en la práctica. Todo lo que tienes que hacer es seguir una adecuada cadena de isomorphisms, y luego decir:
Desde el yoneda la inclusión es totalmente fiel, refleja isomorphisms, es decir, para cuando $\hom(A,X)\cong \hom(B,X)$ o $\hom(X,A)\cong \hom(X,B)$, para cualquier $X\in\cal C$, de forma natural en $X$,, a continuación,$A\cong B$.
