Homomorphism entre grupos cíclicos

Question

Tengo un poco de confusión en relación a la siguiente pregunta.

Vamos $\langle x\rangle = G$, $\langle y\rangle = H$ ser finito grupos cíclicos de orden $n$ $m$ respectivamente. Deje $f:G \mapsto H$ ser la asignación de envío de $x^i$ a $y^i.$ Determinar las condiciones en las $n$$m$, de modo que $f$ va a ser un homomorphism.

En la verificación de la definición de un homomorphism me parece que se puede concluir que no hay ninguna restricción en $n$ $m$ desde la definición de un homomórfica de asignación de satisfacción:

$$ f(x^i x^j) = f(x^{i+j}) = y^{i+j} = y^i y^j = f(x^i)(x^j) \; \; \; (1) $$

Pero suponiendo que n < m íbamos a conseguir

$$f(x^n) = f(e) = e \not = y^n$$

Así que claramente tenemos que tener $m | n.$

Mis preguntas son

1. Existen otras condiciones en $n$ $m$ además $m |n.$

2. ¿Qué fue exactamente lo que yo hago mal en $(1)$ ?

Answer 1

La discusión sobre el "bien definido" es quizás un poco oscuro. Aquí está el problema:

Recuerde que, en general, un elemento de $G$ puede tener muchos diferentes "nombres". Por ejemplo, si $n=10$, entonces el elemento $x^{11}$ es igual a $x$; de hecho, $x$ tiene infinitamente diferentes "nombres" como un poder de $x$: $$\cdots = x^{-9} = x^1 = x^{11} = x^{21} = \cdots$$

The problem is that the definition of $f$ as given depends on the name of the element! That is, if we are furiously working and somebody hands us a power of $x$, say, $x^{3781}$, we are supposed to, unthinkingly, map it to $y^{3781}$. The problem is that $x^{3781}$ is the same element as $x$, which we are supposed to send to $y^1$. That means that unless $y^1=y^{3781}$, what we have is not really a function: because the same input, $x$ (who, when being teased by bullies is called "$x^{3781}$") may be sent to $y^1$ or to $y^{3781}$, depending on what "name" we just heard for it.

Checking that the value of the function is the same regardless of what name we are using for an element, even though the function is defined in terms of the name, is called "checking that the function is 'well-defined.'"

An example of a function that is not well-defined would be one in which the input is an integer, and the output is the number of symbols used to express that integer. For example, $f(3)$ would be $1$ (because 3 is only one symbol), but $f(4-1)$ would be $3$ (because we are using 4, -, and 1). This is not well defined as a function of the integers, because $3$ is the same as $4-1$, but $f$ asigna dos salidas diferentes.

Así, para que la expresión dada para definir una función, se necesita lo siguiente para ser verdad: $$\text{if }x^i=x^j,\text{ then }y^i = f(x^i)\text{ is equal to }y^j=f(x^j).$$ Ahora, $x^i=x^j$ si y sólo si $i\equiv j\pmod{n}$; y $y^i=y^j$ si y sólo si $i\equiv j\pmod{m}$. Por lo tanto, necesitamos: $$\text{if }i\equiv j\pmod{m},\text{ then }i\equiv j\pmod{n}.$$ En otras palabras: cada número es un múltiplo de a $m$ debe ser un múltiplo de $n$.

Esto es equivalente a $n|m$.

De hecho, se dio cuenta de que en lo que usted escribió, por $x^n=e$, por lo que necesitamos $f(x^n)$ a ser el mismo que $f(x^0)$.

Una vez que sabemos que $n|m$, $f$ está bien definido. Una vez que está bien definido, podemos empezar a comprobar que es de hecho un homomorphism (es). Técnicamente, es incorrecto que empezar a trabajar para ver si es un homomorphism, incluso antes de saber si es o no es una función.

Tenga en cuenta que la condición de que realmente funciona si permitimos $G$ o $H$ ser infinito cíclico grupos, si llamamos infinito cíclico grupos "grupos de orden $0$". A continuación,$i\equiv j\pmod{0}$$i=j$, cada número se divide $0$, pero el único múltiplo de $0$$0$. Así que si $G$ es infinito cíclico, a continuación, el valor de $n$ no importa; si $H$ es infinito cíclico, a continuación, debemos tener $G$ cíclico infinito.

Answer 2

Es posible que desee comprobar primero si el mapa está bien definido, es decir., si $x^i=x^j$ no se sigue que la $f(x^i)=f(x^j)$?

Answer 3

La regla de $x^i\mapsto y^i$ da perfectamente la función definida en el conjunto $\{x^0, x^1, \ldots, x^{n-1}\}$. Sin embargo, para que la regla sea un homomorphism necesitamos ese $x^{i+j} \mapsto y^{i+j}$ todos los $i$$j$. Para encontrar donde $x^{i+j}$ va necesitamos reducir el $i+j \bmod n$ $k$ $\{0,1,\ldots,n-1\}$ y necesitamos ese $k \equiv i+j \bmod m$. En otras palabras, necesitamos $k \equiv k' \bmod n \implies k \equiv k' \bmod m$ y esto sólo puede ocurrir cuando la $m\mid n$.

Answer 4

TEOREMA:

Definir $f:\langle x \rangle \to \langle y \rangle$, donde las órdenes de $\langle x \rangle$ $\langle y \rangle$ sean n y m,respectivamente, por $f(x) = y^u$. Entonces f es un bien definido homomorphism si y sólo si $\frac{m}{\gcd(m,n)} \mid u$.

PRUEBA: Supongamos que la asignación de $f:\langle x \rangle \to \langle y \rangle$ es una bien definida homomorphism.

Vamos $f(x) = y^u$ para algunos no entero negativo u.

También debemos tener $ 1 = f(x^n) = y^{un}$

Entonces $ m \mid un$. Vamos $g = \gcd(m, n)$. Entonces $\frac m g \mid u \frac n g$. De ello se sigue que $\frac m g \mid u$.

Lo contrario es bastante sencillo.

Supongamos que definimos $f:\langle x \rangle \to \langle y \rangle$ por $f(x) = y^u$ donde $\frac{m}{\gcd(m,n)} \mid u$

El único problema con esta definición es "Está bien definido?" Puesto que el orden de $\langle x \rangle$$n$:

\begin{align*} x^a = x^b &\Rightarrow a \equiv b \mod n \cr &\Rightarrow ua \equiv ub \mod {un} \cr &\Rightarrow ua \equiv ub \mod {\frac{mn}{\gcd(m,n)}} \cr &\Rightarrow ua \equiv ub \mod {m} \cr &\Rightarrow y^{ua} = y^{ub}\cr &\Rightarrow f(x^a) = f(x^b) \end{align*}

La linealidad es bastante obvio, por lo $f$ es un bien definido homomorphism.

Por lo tanto, si usted desea $f(x^i) = y^i$, entonces usted desee $f(x) = y$. Por lo tanto, debe tener $\frac{m}{\gcd(m,n)} \mid 1$. Lo que implica $m \mid n$.

Por el contrario, si $m \mid n$$f(x) = y$, se deduce que el $f(x^i) = y^i$.