la dificultad de la aceptación de la $i^2 = -1$ para la primera vez

Question

Mientras que la enseñanza de los números complejos para aquellos que son para el encuentro en el primer tiempo (generalmente de 10 grado y grado 11), me sale la pregunta como

"Puede incluso al cuadrado número de dar resultados negativos? ¿Cómo no ser la raíz cuadrada de números negativos? Cuánto longitud de $i \; \mathrm{cm}$ representan en la escala del medidor?"

en cada año y en cada sección. He estado contestando

"Bien, esto es sólo una construcción que se da solución a la ecuación de $x^2 + 1 = 0$ cual de los dos debe tener solución mediante el uso del teorema Fundamental del álgebra, pero ya no tenemos que en los números Reales, estamos obligados a construir $i$." Entonces voy a la historia de la aceptación de la dificultad de algunos números como $\sqrt 2 $ por los antiguos matemáticos griegos (sólo un arenque rojo). Entonces puedo seguir "número Natural se utiliza para representar el Dinero mientras que el número Real se utiliza para medir la longitud, el número complejo, aunque no representa la longitud y el peso, mi representan algunas otras cosas que el dinero o la longitud que tiene aplicaciones en la física, la matemática y la ingeniería, y por lo que es válido tomar construir un símbolo de $i^2 = -1$."

No sé si estoy hablando demasiado de mis limitados conocimientos. ¿Cuál es la mejor manera este cabeza de chorlito para explicar los cabeza de chorlito que han lavado el cerebro en secundaria inferior y secundaria que usted no puede tomar la raíz cuadrada de números negativos, sin dejar de ser correcto y hacerles aceptar fácilmente?

EDIT: tengo una última pregunta. Son algunos de los problemas que es imposible de resolver sin el uso de Números Complejos o de todos los problemas que involucran números complejos tienen soluciones de otros?

EDITAR AÑADIDO:: ¿Qué sería de las matemáticas, sin ser como el uso de los números complejos? Tal vez, si yo menciono esto con claridad, tal vez sería útil para los estudiantes. Un ejemplo está dado por @Semiclásica en los comentarios en la primera respuesta. ¿Qué otras cosas no puede ser absolutamente resuelto sin el uso de números complejos?

Answer 1

La forma en que me enteré de la existencia de $i$ era que se llamaba $j$ y la multiplicación por $j$ significado de rotar el plano de $90^\circ$ a la izquierda. Cada número complejo $a+bj$ donde $a$ $b$ son reales, tiene un valor absoluto $|a+bj|=\sqrt{a^2+b^2}$ y un ángulo de rotación de la $\theta$ cuyo coseno es $a/|a+bj|$. Para multiplicar por $a+bj$ es para dilatar por $|a+bj|$ y girar por $\theta$. Después me enteré de esto como la rotación y la dilatación, pasaron varios años antes de que me enteré de que es posible introducir la multiplicación por números complejos sin hablar de la rotación y de dilatación. Y hay desventajas para el aprendizaje sin el aprendizaje de la geometría.

Answer 2

En una configuración geométrica, si $1$ $1$cm de largo, a continuación, $i$ $1$ cm de largo. Las partes real e imaginaria de un número complejo tiene la misma dimensión, y las expresiones que implican ellos son homogéneas, como $\|z\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

La representación geométrica de los números complejos como 2D puntos pueden ser de ayuda y rescate de los centímetros.

Una vez definido lo que la suma y la multiplicación en el plano complejo, se convierte en aceptable que $i^2=-1$.

Lo que necesitan para aceptar no es la existencia de los imaginarios de las cantidades (hacer números reales "existir" ?), pero el hecho de que nos definir un álgebra sobre un subconjunto de los números reales.