La intuición detrás de un cierto límite.

Question

Queremos encontrar a $\displaystyle\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}} b_1-a_1$, $c=1$ y $\cdot=90^{\circ}$

Esta es mi solución;

$$\begin{equation}\sin \theta=\frac{b_1}{a_1} \iff b_1=a_1 \sin \theta\tag{1}\end{equation}$$

$$\begin{equation}\tan \theta=\frac{b_1}{c}\iff \tan \theta=b_1\tag{2}\end{equation}$$

$$\begin{equation}b_1=\tan \theta\stackrel{(1)}{\iff}a_1= \sec \theta\tag{3}\end{equation}$$

$$\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} b_1-a_1\stackrel{(2)(3)}{=}\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}}\tan \theta-\sec \theta=-\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos \theta \tan \theta -\cos^2\theta\tan^2\theta}{\cos^2\theta\tan \theta}=-\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos \theta \tan \theta }{\cos \theta}\stackrel{\text{de l'}}{=}-\dfrac{1}{-\infty}=0$$

Suponiendo que no tuve que hacer ningún error ahí, que significa que cuando el ángulo tiende a convertirse en un ángulo recto, $a_1=b_1$. Pero según mi intuición, $a_1>b_1$ no importa el ángulo. Donde está mi error?

Answer 1

No hay ningún error. Es perfectamente posible que $f(\theta) > g(\theta)$ todos los $\theta$ pero $\lim f(\theta)-g(\theta) = 0$.

Para convencerse de que tal vez usted podría tratar de encontrar una simple prueba. La sugerencia de @DanielFischer es buena: $a^2 = 1+b^2$ significa que $$ (a+b)(a-b) = 1\qquad a-b = \frac{1}{a+b} $$