Infinita suma: $x+x+x+x+... =2$?

Question

Una de mis favoritas poco de problemas de matemáticas es este

$x^{x^{x^{x^{...}}}}=2$

La solución es bastante simple. Una torre infinita de x es igual a 2, y por encima de la primera x todavía hay una torre infinita de x, entonces la ecuación puede ser simplificada a

$x^2=2 \Rightarrow x= \sqrt2$

(Nota: esto sólo funciona iff $ e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}} $)

Ahora, ¿y si en vez de un infinito exponenciación sería una infinita suma, como este:

$x+x+x+x+...=2$

Si tratamos de resolver de la misma manera como la exponenciación uno: Una infinita suma de x es igual a 2, y después de la primera x todavía hay una infinita suma de x, entonces la ecuación puede ser simplificada a

$x+2=2$

De donde se desprende que el $x=0$, pero seguramente no puede ser que $0+0+0+0+...=2$

Es esto debido a que $0+0+0+0+... = 0 \times \infty $, que es indeterminado? O ¿qué está pasando?

Answer 1

Lo que tienen es una correcta argumento de que SI $x$ es tal que $x+x+\cdots=2$,$x=0$.

Sin embargo, esto no significa necesariamente que el contrario también es cierto: Usted no tiene ningún argumento de que si $x=0$$x+x+\cdots=2$.

Así que tu argumento, en combinación con el sencillo hecho de que $0+0+\cdots\ne 2$, muestra que hay NO $x$ tal que $x+x+\cdots=2$.

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Esto no tiene nada que ver con ser "indeterminado". Es claro e inequívoco de que $0+0+\cdots$$0$. Cuando decimos que $0\times \infty$ es indeterminada, la única cosa que queremos decir es que cuando tienes un límite de la forma $\lim_x f(x)g(x)$ donde$f(x)$$0$$g(x)$$\infty$, y después de conocer los límites de $f$ $g$ no indica cuál es el límite del producto. En particular, "indeterminado" no significa que $\lim_x f(x) g(x)$ sí de alguna manera es malo o no existe, solo de que necesitamos trabajar más para encontrar lo que los límites de $f$ $g$ por separado.

Answer 2

Una analogía puede ser como este:

Un punto geométrico, como tal, no tiene definida la longitud, es decir, su longitud puede ser dicho para ser $0$.

Por lo infinito de puntos de referencia deben tener una longitud de $= 0 \times \infty$

Pero infinita de tales puntos pueden formar una línea recta, un círculo, una cónica o cualquier otro geométrica de la curva con una longitud especificada ($\not = 0$).

Por lo tanto,

$$0 \times \infty = \text{finite}$$

Se puede ver cómo esto está relacionado con su problema?

Answer 3

Como se dijo en la otra respuesta a tu problema es que no se puede materializar la infinita suma de $x$ porque no converge y si la hizo, de hecho, $x$ sería igual a 0.

Otra cosa que es una "paradoja" con unconverging de la serie, tratamos de calcular la suma de los $2^i$. Si usted materializar este objeto, es decir, existe una $S$ tal que $S=\sum_i 2^i$, pero entonces usted tiene $S- 2S =1$ y, a continuación,$S=-1$, lo que significa que sumar un número positivo puede dar una negativa! Lo divertido es que aunque hay maneras de formalizar los cálculos y darles sentido preciso y se utiliza en la física fundamental! (Si usted está familiarizado con el bit de descomposición en el ordenador, también se puede entender como un completo 1-bitset es -1, lo cual es cierto en un equipo de diseño, pero es divertido ver que podría ser más profundo!)

Answer 4

$x+x+\dots+x=kx$ decir, así que podemos decir que su ecuación es $k\to\infty$ y $$\lim_\limits{k\to\infty}kx=2$$

Me gustaría continuar con $x=\lim_\limits{k\to\infty}\dfrac2 k$, lo $x=0$.

Answer 5

Excelente pregunta. Justo el tipo de pregunta que provocará su interés en el tema. Ahora, todo lo que necesita hacer es mirar este maravilloso vídeo de Youtube por un caballero con el nombre de numberphile. https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Esto, muy maravillosamente, es lo que puede suceder cuando usted se presenta ese tipo de lógica de las matemáticas. Como matemáticos, se prohíbe cualquier operación que incluya cantidades infinitas a menos que seamos capaces de integrarlas a nuestro dominio (como en el caso de la extensión de reales, lo cual debe leer acerca de). Por lo tanto, operando con infinitas sumas no está permitido.

El tema de la "Convergencia de la serie" toma el cuidado de su pregunta y a muchas otras preguntas interesantes en el campo. Por supuesto, a la gente le encanta si no hay muchas reglas, pero, a continuación, sólo hay tantas intuiciones que los matemáticos pueden integrar en su trabajo.

Es bueno saberlo, aunque. Le pregunté a la pregunta que hizo justo ahora, hace unos 13 años (yo era de 6 a continuación) y ha recibido una respuesta satisfactoria acerca de hace 2 años. Sigue así, de todos modos.

EL ASTON VILLA