¿Por qué es el área bajo una curva el integral?

Question

Entiendo cómo funcionan las derivadas basándome en la definición, y en el hecho de que mi profesor me lo explicó paso a paso hasta el punto en que puedo derivarlo por mí mismo.

Sin embargo, cuando se trata del área bajo una curva, por alguna razón, cuando se divide en una cantidad infinita de rectángulos, mágicamente se convierte en la anti-derivada. ¿Alguien puede explicar por qué esa es la definición de la integral y cómo Newton descubrió esto?

Answer 1

Una forma en que quizás puedas "justificar"/dar una razón intuitiva es considerar la siguiente figura:

$A(x)$ es el área bajo la curva desde $0$ hasta $x$, la región marrón.

$A(x+dx)$ es el área bajo la curva desde $0$ hasta $x + dx$, la región marrón + gris.

Ahora, para $dx$ realmente pequeño, podemos considerar la región gris como un rectángulo de ancho $dx$ y altura $f(x)$.

Así que $\dfrac{A(x+dx) - A(x)}{dx} = f(x)$.

Por lo tanto, a medida que $dx \to 0$, vemos que $A'(x) = f(x)$.

Es bastante intuitivo definir el área aproximándola con rectángulos muy delgados. Lo anterior brinda una intuición sobre por qué la derivada del área da la curva.

Answer 2

Recomiendo encarecidamente que eches un vistazo al primer capítulo del libro de cálculo de Gilbert Strang: http://ocw.mit.edu/resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/MITRES_18_001_strang_1.pdf. Este capítulo proporciona una introducción perspicaz a la integración que probablemente tome un enfoque muy diferente al de tu profesor.

Una explicación típica de la integración es la siguiente:

Queremos saber el área bajo una curva. Podemos aproximar el área bajo una curva sumando el área de muchos rectángulos, como se muestra arriba. Es claro que con cientos o miles de rectángulos, la suma del área de cada rectángulo es casi exactamente el área bajo la curva. En el límite, obtenemos que la suma es exactamente igual al área. Esta animación puede ayudar con la intuición,

Definimos la integral como el límite descrito y representado arriba:

$\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ i=1 }^{ n }{ f({ x }_{ i })\Delta x } } } $

Answer 3

Aquí hay una explicación muy simple de cómo funciona una integral. Olvídate de las cosas necesarias para la prueba. Esto es solo para el concepto

Toma la función f'(x) y su antiderivada, f(x)

Podemos encontrar el área bajo un gráfico tomando el promedio de todos los valores de y y multiplicando por Delta X, creando un rectángulo de igual área.

 (1)Área = Ypromedio de f'(x)* DeltaX
  el promedio de y para f'(x) es la pendiente promedio de f(x)

Encontrar la pendiente promedio de f(x) es fácil. Simplemente ve a la función original y realiza el cálculo de la pendiente promedio

 (2)pendiente promedio =(y1-y2)/(deltaX)

Ahora sustituye la fórmula 2 en la 1:

  área de f'(x) = (y1-y2)/delaX  * deltaX
  área de f'(x) = (y1-y2)

y1 = f(x1)

 área de f'(x)=f(x1)-f(x2) 

Me tomó un tiempo entender esto. En mi opinión, la suma promedio de pequeños cuadrados dificulta la comprensión. El teorema del valor medio es útil para encontrar la pendiente promedio. Es enrevesado e impreciso cuando las personas dicen que hay un valor c que hace esto o aquello. No es relevante para encontrar la pendiente promedio. Simplemente suministra la fórmula para encontrar la pendiente promedio. Buena suerte

Es un concepto tan simple pero tan sobrecomplicado. Espero que cambien la forma en que se enseña en las escuelas canadienses

Answer 4

El concepto principal que relaciona la integral y la derivada es el teorema del valor medio: $$F(b)-F(a)=(b-a)f'(c), c\in (a,b)$$ mediante el uso de este teorema podemos responder la pregunta deseada.

Answer 5

La idea detrás de la integral definida (área bajo la curva) viene directamente de la definición de la derivada. Veamos la última definición:

\begin{equation} f(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta F(x)}{\Delta x}} \implies f(x) = \frac{dF(x)}{dx} \end{equation}

Multiplicamos ambos lados por $dx$:

$$ f(x)dx = dF(x) $$

A partir de lo anterior, el área de una franja infinitamente estrecha ($dx$ de ancho) $f(x)dx$ es igual a $dF(x)$.

El objetivo es encontrar el área de todas esas franjas en el rango de $x \in \{A, B\}$.

Dado: $dF(x) = F(x + dx) - F(x) \\$ $$ \left\{ \begin{aligned} f(x )dx = F(x + dx) - F(x ) \\ f(x + dx)dx = F(x + 2 dx) - F(x + dx) \\ f(x + 2 dx)dx = F(x + 3 dx) - F(x + 2 dx) \\ \cdots \\ f(x + N dx)dx = F(x + (N+1) dx) - F(x + N dx) \end{aligned} \right. $$

Sumamos el grupo de ecuaciones anteriores:

$$ f(x)dx + f(x + dx)dx + f(x + 2 dx)dx + \cdots + f(x + N dx)dx \\ = F(x + dx) - F(x ) + F(x + 2 dx) - F(x + dx) + F(x + 3 dx) - F(x + 2 dx) + \cdots + F(x + (N+1) dx) - F(x + N dx) $$

Como resultado, obtenemos la integral definida (de una función de una sola variable), que de hecho corresponde al área que hemos estado buscando:

$$ \sum_{n=0}^N f(x + n dx)dx \\= F(x + (N+1) dx) - F(x) \\= F(B) - F(A) $$

La suma de todas las franjas en el rango dado es igual a la diferencia entre su antiderivada en ambos extremos.