Notación de Newton vs Leibniz

Question

A menudo me he encontrado con comentarios superficiales hechos aquí y allá en conferencias de cálculo, documentales matemáticos o en libros de cálculo que indican que la notación de Leibniz para el cálculo es mejor que la de Newton y, por lo tanto, se utiliza más ampliamente.

Aunque siempre he seguido la notación de Leibniz (por una cuestión de familiaridad, ya que es lo que me enseñaron), pero últimamente he tenido la idea de seguir la notación de Newton solo para ver dónde podría quedarme atascado solo por problemas "notacionales".

¿Hay alguna limitación de la notación de Newton que pueda encontrar al hacer cálculo; y que pueda hacer que parezca una mala idea hacer cálculo en la notación de Newton?

Aquí la "notación de Leibniz" es $\frac{dy}{dx}$ para la derivada de $y$, y la "notación de Newton" es $\dot{y}$ para la derivada de $y$.

Answer 1

Con respecto a las notaciones para la derivada:

Ventajas de usar la notación de Leibniz:

• Hace que la mayoría de las consecuencias de la regla de la cadena sean "intuitivas". En particular, es más fácil ver que $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ que ver que $[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$. Ver también la sustitución de $u$, en la que "definimos $du := \frac{du}{dx}dx$".
• En un contexto físico/científico, hace obvio cuáles deberían ser las unidades de la nueva expresión (integral o derivada). Por ejemplo, si $s$ está en metros y $t$ está en segundos, claramente $\frac{ds}{dt}$ debe estar en metros/segundo.

Desventajas:

• Es más difícil/torpe llevar un registro de los argumentos de la derivada con esta notación. Por ejemplo, puedo escribir y llevar un mejor control de $f'(2)$ que de $\left.\frac{dy}{dx} \right|_{x=2}$
• A menudo conduce a la noción errónea de que $\frac{dy}{dx}$ es una razón

Nótese que casi nadie utiliza la notación de Newton para la integral ("antiderivada"), en la que la antiderivada de $x(t)$ es $\bar x(t)$, $\overset{|}{x}(t)$, o $X(t)$ (aunque este último a veces se utiliza en libros de texto introductorios). La notación de Leibniz parece ser la clara ganadora en ese aspecto.

Answer 2

La diferencia más obvia es que la notación de Leibnitz define estrictamente cuál es la variable independiente. En cálculo básico solemos derivar una función "y" de una variable "x" como regla general, pero ¿qué sucede cuando quieres derivar la función $w = 3x+4m$? ¿Cómo te ayudaría la notación de Newton a entender cuál es la variable y cuál es el parámetro?

Además, en integrales, la notación hace que métodos como sustitución o integración por partes sean mucho más simples, ya que utilizas el símbolo "dx" como si fuera una variable substituible.

Answer 3

Creo que es mejor usar ambas notaciones simultáneamente.

Por ejemplo, mi declaración preferida de la regla de la cadena es:

$$\frac{d}{dx}f(y) = f'(y)\frac{d}{dx} y$$

Por ejemplo, podemos escribir:

$$\frac{d}{dx} \sin(x^3) = \sin'(x^3)\frac{d}{dx}x^3 = \cos(x^3)\cdot 3x^2 = 3x^2 \cos(x^3)$$

Intenta hacer esto usando solo notación Newtoniana o solo notación Leibniziana; rápidamente notarás que ambas son más difíciles.

También hay versiones multivariables. Por ejemplo:

$$\frac{d}{dt}f(x,y) = (D_0 f)(x,y) \frac{d}{dt} x+(D_1 f)(x,y) \frac{d}{dt} y$$

Answer 4

Gottfried Liebniz desarrolló su cálculo alrededor de 1673 y lo publicó en 1684, cincuenta años antes de que el trabajo de Newton1 sobre ese tema fuera publicado póstumamente. Esa podría ser una de las razones por las que se usa más ampliamente.

Además, esa diferencia de tiempo en la escritura y publicación se convirtió en un tema de rivalidad sobre quién de los dos matemáticos desarrolló primero el cálculo, una de las implicaciones directas de ese conflicto fue el uso de notación de los seguidores respectivos, lo que llevó a muchas dificultades para el posterior desarrollo del cálculo en Inglaterra2 durante muchos años.

Hoy en día, ambas notaciones se utilizan de manera intercambiable dependiendo de la etapa de la solución de la ecuación que involucra derivadas, por ejemplo: para manipulaciones algebraicas se puede usar la notación más breve de Newton, pero cuando llega el momento de separar las variables se escriben los términos utilizando la notación de Liebniz. La notación de Newton (para derivadas) específicamente se está utilizando más ampliamente en mecánica, análisis de circuitos eléctricos y más generalmente en ecuaciones donde la diferenciación es más obvia.

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1. Método de Fluxiones es el libro en el que Newton describe el cálculo diferencial y fue completado en 1671, pero publicado en 1736.

2. Una opinión descrita en Los hombres de las matemáticas por E. T. Bell

Answer 5

Wikipedia tiene una página dedicada a notaciones para la diferenciación, en resumen:

• Leibniz $\frac{dx}{dt}$
• Newton $\dot{x}$
• Lagrange $x'(t)$

La notación de Leibniz es sugestiva, gracias a la cancelación de las diferenciales en la regla de la cadena: $$ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt} $$ sin embargo se debe tener mucho cuidado, ya que esta notación también puede ser engañoso para derivadas de orden superior: $$ \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2y}{dx^2}\frac{dx^2}{dt^2}=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 $$ lo cual es incorrecto, la fórmula correcta es: $$ \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2} $$ No se tiene este problema con la notación de Lagrange: $$ y(x(t))''=(y'(x(t))x'(t))'=y''(x(t))(x'(t))^2+y'(x(t))x''(t) $$

Estos problemas de notación son bien conocidos en la enseñanza del cálculo diferencial, ver:

H. Poincaré, La Notation Différentielle et l'enseignement (pdf)

J. Hadamard, La notion de différentielle dans l'enseignement (pdf)

desafortunadamente ambos en francés, sin embargo puedes encontrar una traducción al inglés del artículo de Hadamard aquí.

También puedes ver:

Diferenciales, diferenciales de orden superior y la derivada en el cálculo de Leibniz (pdf)