Al modelar un evento del mundo real al asumir que tiene una probabilidad p, ¿qué estamos diciendo/asumiendo sobre cómo se comporta ese evento?

Question

Hay innumerables libros sobre estadísticas y cómo aplicar la teoría de la probabilidad al mundo real. Pero nunca he entendido realmente lo que estamos haciendo cuando modelamos un fenómeno del mundo real con la teoría de la probabilidad.

Si tienes eventos del mundo real, y dices que estás modelando el mundo real y asignas probabilidades a esos eventos, ¿qué estás diciendo realmente entonces? Si dices que la probabilidad de que el autobús llegue a tiempo es 0.3, ¿qué estás diciendo realmente entonces? La mayoría de los libros que he leído interpretan esto como una frecuencia relativa a largo plazo, es decir, si observas muchas situaciones "independientes" entonces la frecuencia límite se acercará a 0.3. Pero esta no es la definición de probabilidad, y la teoría de la probabilidad solo dice que esto ocurrirá con probabilidad 1, no que ocurrirá con certeza (eventos de medida 0, etc.).

Supongo que lo que me pregunto es cuando usamos la probabilidad en estadísticas y el mundo real, ¿qué significa cuando decimos que un evento tiene probabilidad p? Si solo nos preocupa las matemáticas, esto es fácil, entonces simplemente estamos diciendo que la medida de ese evento es p. Entonces, cuando modelamos una situación del mundo real con probabilidad en nuestro mundo abstracto, le damos a un evento del mundo real una medida p, ¿pero qué estamos diciendo realmente sobre el mundo real entonces?

Answer 1

Esta es una (¡buena!) pregunta filosófica, no matemática. En ese sentido, no es diferente de otras preguntas relacionadas con la aplicabilidad de las matemáticas al mundo real. Ejemplos de otras preguntas de este tipo son la realidad física de los números reales o la naturaleza de los procesos límite e infinito. Y como siempre, para esas preguntas quedará un cierto vacío que la filosofía no puede realmente cerrar entre el mundo claro de las matemáticas y la realidad caótica. ¡Así que no esperes respuestas definitivas!

En primer lugar, sugiero no obsesionarse demasiado con los conjuntos de medida cero para distribuciones continuas. Si estás dispuesto a aceptar el derivado en el concepto de velocidad como un proceso límite de diferencias finitas, también puedes centrarte en espacios de probabilidad finitos sin conjuntos de medida cero y luego tomar límites.

A continuación, escribes: "La mayoría de los libros que leo interpretan esto como una frecuencia relativa a largo plazo". Es una lástima, ya que hay algunos tipos más de interpretación. La Enciclopedia Stanford de Filosofía, en su artículo "Interpretaciones de probabilidad", menciona entre otros enfoques subjetivos y de propensión. Con estos enfoques no necesitas una cantidad infinita de replicaciones independientes para postular algo.

Intentaré explicar esos dos enfoques en el escenario más simple, la moneda justa. En el enfoque subjetivo, argumentas que crees (por las razones que sean) que un lado de la moneda es igual al otro, razón por la cual asignas una medida (de credibilidad) igual a los dos eventos cara y cruz. En el enfoque de propensión, argumentas que las propiedades físicas de la moneda son tales que ambos lados y, por lo tanto, ambos resultados cara y cruz son simétricos.

Las interpretaciones subjetivas son geniales porque puedes asignar probabilidades a eventos pasados (¿Cuál es la probabilidad de que el autobús llegara a tiempo ayer?) o analizar experimentos determinísticos de computadora de una manera probabilística. La interpretación física es agradable porque crea una conexión directa entre las matemáticas y la realidad. En ambos enfoques terminas con probabilidades de "cincuenta-cincuenta" para la moneda justa sin requerir la repetición independiente de experimentos.

Ahora, para responder a tu pregunta:

"Si tienes eventos del mundo real, y dices que modelas el mundo real, y asignas probabilidades a esos eventos, ¿qué estás diciendo realmente entonces?"

En el enfoque subjetivo, en realidad no estás diciendo nada sobre el mundo real. Solo estás diciendo algo sobre tus creencias subjetivas sobre el mundo real. En el enfoque de propensión, estás postulando propiedades de un sistema físico (aquí: simetría de los lados de una moneda justa).

Answer 2

Creo que el estudio de la probabilidad comienza con nuestra asombrosa capacidad de imaginar muchos futuros posibles diferentes. Algunos de esos futuros son de alguna manera "probables" y algunos son "improbables", pero estos conceptos son bastante vagos y dependen de nuestra otra asombrosa capacidad de recordar los eventos del pasado. Dependiendo de la precisión de nuestros recuerdos, ciertos futuros nos "sorprenderán" si ocurren y otros eventos futuros serán recibidos con una actitud resignada de "eso es exactamente lo que esperaba".

Todo esto es muy vago y queremos encontrar una mejor manera de describir la "probabilidad" de eventos futuros posibles. Así que comenzamos a desarrollar una medida de probabilidad, sea lo que sea eso.

Algunos eventos futuros se pueden poner a prueba de manera científica, con experimentos repetibles. Por lo tanto, puedo, por ejemplo, tirar dados y lanzar monedas repetidamente para medir lo que sucede. Puedo desarrollar un enfoque teórico para calcular probabilidades para tales eventos, utilizando la idea del número de resultados posibles. Esto nos lleva a creer en la medida de probabilidad para ciertos tipos de eventos simples.

Luego intentamos ampliar nuestro vocabulario a otros tipos de eventos. Aquí es donde, en mi opinión, la teoría de la probabilidad comienza a hacer demandas muy extremas a nuestro sistema de creencias. Se nos llama a creer que los eventos no repetibles se comportan de la misma manera que los eventos repetibles y esperamos que nuestros cálculos que hasta ahora se han demostrado válidos para eventos repetibles también sean válidos para discutir eventos únicos.

Más profundamente, no estamos realmente seguros si el universo es determinista o estocástico. Si es estocástico, la teoría de la probabilidad es probablemente un buen modelo. Si es determinista, entonces quizás la teoría de probabilidad no sea útil.

Los antiguos griegos lo tenían de ambas maneras. El universo estaba gobernado por los dioses (determinista) pero los dioses eran caprichosos e impredecibles, hasta el punto de que decidirían el curso del futuro con el lanzamiento de dados (estocástico). De ahí proviene la frase "está en manos de los dioses" porque lanzaban sus dados en sus regazos...

Curiosamente, incluso si el universo es determinista, puede ser tan difícil para nosotros evaluar todas las variables necesarias para predecir el futuro que es mejor fingir que es un universo determinista después de todo.

Arthur C Clarke dijo que cualquier tecnología suficientemente avanzada es indistinguible de la magia. Quizás el determinismo de los dioses solo parezca como pura casualidad para nosotros...

Answer 3

Como varios comentaristas han señalado, hay varias interpretaciones de la probabilidad. En mi respuesta, me centraré en la interpretación subjetivista.

"Si usted tiene eventos del mundo real, y decir que el modelo del mundo real, y asignar probabilidades a los eventos, ¿qué estás diciendo en realidad? Si usted dice que la probabilidad de que el autobús estará en el tiempo se han probabilidad de 0.3, ¿qué estás diciendo en realidad?"

La respuesta corta, para los subjetivistas, es que se está diciendo algo acerca de su juicio personal. Exactamente lo que usted está diciendo depende, precisamente, de qué marca de subjetivismo uno apoya. Lo que es interesante, y contra lo g g ha dicho, el problema aquí no son puramente filosófica; no son matemáticos resultados que arrojan luz sobre su pregunta. Me dirijo a aquellos que ahora.

El único lugar para empezar es con De Finetti. Según De Finetti la teoría subjetivista, hay algunos de la colección de $\mathcal{B}$ de los eventos de interés. Un agente es comprar y vender varias apuestas sobre estos eventos. Para cada una de las $B \in \mathcal{B}$, el agente de la función de precio $p: \mathcal{B} \to \mathbb{R}$ da su justo precio $p(B)$ para una apuesta que paga \$1 if $B$ occurs and nothing otherwise. A price function is said to be coherent if there is no way to buy and sell a collection of bets with our agent such that she is guaranteed a net loss. More precisely, $p$ is coherent if there do not exist $B_1,...,B_n \in \mathcal{B}$ and real numbers $d_1,...,d_n$ such that $$\sum_{i=1}^{n} d_i (\mathbf{1}_{B_i} - p(B_i)) < 0.$$ Este sencillo juego es suficiente para el estado de la muy interesante

Teorema 1. Supongamos que $\mathcal{B}$ es un álgebra. A continuación, $p$ es coherente si y sólo si es un finitely aditiva de la probabilidad de medir.

De regreso a sus preguntas: En esta interpretación probabilidades son coherentes precio de funciones. A decir de la probabilidad de que el autobús en el tiempo es de 0,3, es decir que \$0.30 is your fair price for a bet that pays \$1 si el autobús está en el tiempo.

Más tarde, los autores que trabajan en la tradición subjetivista extendido estas ideas de forma espectacular. Tal vez la obra más importante aquí es Leonard Savage las Bases de la Estadística. Para Savage, la idea fundamental no es una función de precio, sino cualitativa de la preferencia de un pedido de las acciones. Por ejemplo, usted podría preferir tomar el autobús ($f$) a pie ($g$), y escribimos $g \precsim f$.

Más precisamente, los Salvajes, los postulados de un conjunto de estados del mundo, $\mathcal{S}$ y un conjunto de resultados $\mathcal{O}$. Las acciones son funciones de $\mathcal{S}$ a $\mathcal{O}$. Por ejemplo, supongamos $s \in \mathcal{S}$ es un estado en el que el autobús se descompone. A continuación, el resultado $f(s)$ de tomar el autobús es que llegas tarde al trabajo. Ahora, De Finetti la noción de coherencia, Savage impone ciertas restricciones normativas, en la forma de axiomas, en la orden de $\precsim$. No voy a enumerar los axiomas aquí, pero, por ejemplo, $\precsim$ debe ser un débil orden.

Para obtener las probabilidades, se procede en dos pasos. Primero se puede demostrar que si $\precsim$ satisface el Salvaje axiomas, entonces existe un único cualitativa de la probabilidad $\preccurlyeq$ sobre los acontecimientos en $\mathcal{B}$, definido para ser una álgebra de subconjuntos de a $\mathcal{S}$. La idea detrás cualitativa de la probabilidad es la siguiente. En primer lugar, $\precsim$ induce un orden en el conjunto de resultados $\mathcal{O}$ mediante la identificación de los resultados de $o$, con una constante de acciones $\hat o$, es decir, $\hat o(s) = o$ todos los $s \in \mathcal{S}$. Continuando con nuestro ejemplo, supongamos que usted prefiere llegar a tiempo al trabajo $o_2$ a comenzar a finales de $o_1$, lo $o_1 \precsim o_2$. Consideremos ahora dos eventos, dicen que el evento $A_1$ que el conductor del autobús es Terry Tao y en el caso de $A_2$ que el conductor del autobús no es un matemático. ¿Cómo podemos determinar qué evento que consideramos como más probable dado sólo sus preferencias $\precsim$? La idea es mirar en dos acciones $f_1$$f_2$, dicen

$f_1$ vuelve $o_2$ si $A_1$ se produce y $o_1$ lo contrario. Es decir, si realiza la acción 1, estás a tiempo si el Tao es la conducción y finales de lo contrario.

$f_2$ vuelve $o_2$ si $A_2$ se produce y $o_1$ lo contrario. Es decir, si realiza la acción 2, estás a tiempo si el conductor no es un matemático y finales de lo contrario.

Supongamos $f_1 \precsim f_2$. Pero ya que prefiere estar en el tiempo de $o_2$ a de ser a finales de $o_1$, intuitivamente esto significa que consideras $A_2$ más probable que $A_1$, es decir,$A_1 \preccurlyeq A_2$, porque es razonable que usted prefiere la acción que hace que su preferido resultado más probable. Utilizando esta idea para definir la relación $\preccurlyeq$ podemos mostrar

Teorema 2. Deje $\mathcal{B}$ ser un álgebra de subconjuntos de a $\mathcal{S}$. Si la preferencia de la relación de $\precsim$ más de acciones satisface el Salvaje axiomas, a continuación, $\preccurlyeq$ es un cualitativa de probabilidad de la relación en $\mathcal{B}$, es decir, para $A,B,C \in \mathcal{B}$, $\preccurlyeq$ es un débil fin de con $\emptyset \preccurlyeq A$ e con $A \preccurlyeq B$ fib $A \cup C \preccurlyeq B \cup C$ al $A \cap C = B \cap C = \emptyset$.

El segundo paso es derivar numérico de probabilidades. Para esto un par de condiciones técnicas requeridas. Pero asumiendo que las condiciones técnicas y de los Salvajes son los axiomas todos satisfechos, hemos

Teorema 3. No existe un único, finitely aditiva de la probabilidad de medida $\mu$ $\mathcal{B}$ que representa a $\preccurlyeq$, es decir, para todos los $A, B \in \mathcal{B}$ tenemos $A \preccurlyeq B$ si y sólo si $\mu(A) \leq \mu(B)$.

Esto proporciona un notable respuesta a su pregunta. El numéricos probabilidad de 0.3 que puede asignar el caso de que el autobús en el tiempo es una representación (en el sentido preciso dada anteriormente) de sus preferencias personales. Probabilidad subjetiva en el Salvaje marco se deriva de su ordinario preferencia por estar en el tiempo, en oposición a ser tarde.

En tanto que el De Finetti y Salvaje marcos, empezamos con los objetos que son menos misterioso de probabilidad (por ejemplo, apuestas comportamientos u ordinaria cualitativa preferencias) y muestran que las probabilidades se pueden derivar de estos objetos. Esto le da un significado preciso a la reclamación que hice al comienzo, a saber, que las probabilidades de representar a su juicio personal.

Answer 4

Este probablemente no es material de respuesta aceptado, pero aún me gustaría compartir mi perspectiva.

Entonces alguien tiró un par de dados y tú estabas pasando. ¿Cuál es el resultado de la suma en la que apostarías?

Pienso en la Teoría de la Probabilidad y mi fascinación por ella como los seres humanos siendo capaces de describir la naturaleza sin tener que entenderla completamente. Hacemos descripciones y rectificamos nuestras aproximaciones a través de la experiencia. Hay cosas que intuitivamente sabemos que tienen probabilidad $1$, que es simplemente causa y efecto.

Eso es simple. Cuando tenemos incertidumbre, sin embargo, tratamos de medirla. No podemos saber si el autobús llegará tarde. Puede ser. Puede que no. Lo que importa es que no lo sabemos. Sin ninguna experiencia en absoluto, la mejor apuesta es decir que tenemos un 50/50 de probabilidad. Esto refleja nuestra propia perspectiva. El conductor sabe si llegará tarde. Nosotros no.

Sin embargo, con suficiente experiencia, aprendemos a ajustar la probabilidad. Si de 10 veces que he tomado el autobús, 3 veces ha llegado tarde, entonces ajustaré mi perspectiva diciendo que tiene una probabilidad de llegar tarde de $0.3$, con la cual puedo hacer cálculos adicionales basados en la lógica y las Matemáticas en general. Es una herramienta útil para extrapolar a partir de una experiencia finita.

Recuerda que una probabilidad simple $p$ implica algún tipo de observación. Cuanto más veas, mejor podrás modificar $p$ hacia $0$ o $1.

Es (casi) lo mismo si alguien tira un par de dados y cierras los ojos o si lanzan los dados y ves instantáneamente el resultado. Los dados ya tienen su Física determinada. La diferencia está en lo que puedes aproximar en tu cabeza. Si cierras los ojos, cada dado tiene una probabilidad $p=1/6$ de tomar un valor específico, por lo que sabes que si quieres apostar por un número para ser la suma de los dados, deberías intentar con $7$. Hay más maneras de lograr un $7$ que otras sumas.

¿Apostarías por el $7$? Digamos que tuvieras que apostar obligatoriamente por un número. ¿Sería el $7$? La Combinatoria y nuestra descripción de los dados y la Física nos instan a apostar por el $7$, pero al final puedes apostar por el $5$ porque es tu número favorito y quieres hacerlo.

Answer 5

Una suposición muy común sobre el mundo real es que estamos observando una secuencia de variables aleatorias idénticas e independientes. esto es un requisito para la Ley de los Grandes Números y también el Teorema del Límite Central.

El precio de la gasolina en dos momentos diferentes está ciertamente correlacionado. Si es de $3 por galón esta semana, es razonable asumir que será similar la próxima semana. El precio dentro de un año es menos predecible.

Además, es difícil eliminar correlaciones de una manera predecible. La teoría de la probabilidad nos dice que una secuencia de mediciones se concentra alrededor de la media. ¿Qué punto de datos debemos elegir como punto de referencia para esta media? ¿El precio de la gasolina hoy, el mes pasado o el año pasado?

Puede ser posible determinar la media en períodos cortos de tiempo. Dado que estas fluctuaciones no son independientes e idénticamente distribuidas, no tenemos forma de determinar el precio en el futuro.

Aún así, asumimos que el pasado es indicativo del futuro y a menudo, aunque no siempre, tenemos razón.