Reversibilidad = no-causalidad. Puede ser esto cierto?

Question

Leí ayer el Norton Cúpula del papel, lo que demuestra que algunos de Newton, los sistemas pueden ser no-causal, basado en soluciones específicas de las leyes de Newton. El autor justifica las soluciones en muy agradable, lógicamente coherentes maneras, que me hacía incapaz de falsificar sus conclusiones.

En breves palabras, el experimento es: Si la esfera está en el ápice (parte superior) de una cúpula que puede ser geométricamente descrito por la ecuación de $h=\frac{2}{3g}r^{\frac{3}{2}}$ (véase la Fig. 1a abajo), podemos mostrar con las leyes de Newton de que esta esfera puede comenzar a moverse con absolutamente ningún motivo (no probabilístico). Si usted encuentra esto muy extraño (como yo lo hice cuando me enteré de que), por favor, eche un vistazo en el papel antes de atacar a mi post.

Acercando a mi pregunta: El autor, incluso hace este sonido más razonable diciendo que esto no puede ser más claro al considerar la reversibilidad del sistema. Considere la posibilidad de una esfera en el borde de la cúpula, y le das una patada con cierta velocidad inicial para llegar a la cima (ver Fig. 1b abajo). Si la fuerza es muy pequeña, la esfera no va a llegar a la cúspide. Si la fuerza que uso es muy alta, la esfera sobre el ápice. Si la fuerza es la correcta, la esfera se exactamente parada en el ápice. Esto demuestra que este sistema es reversible, porque exactamente de la misma manera que la esfera se situaba en el ápice por una fuerza que alcanza el ápice, si invertimos tiempo, se va a tomar la misma trayectoria para ir hacia abajo (haciendo caso omiso de la simetría radial de la cúspide).

Mi pregunta: Siguiendo esta lógica, no podemos decir que todos los Newtoniano sistema que llega a un estado estacionario no es causal, porque de lo contrario sería no reversible, en cuanto a tiempo?

Nota: por Favor no impliquen el Modelo Estándar de la CP/T simetría temas relacionados. Sé que este mundo es CP-violación (y por lo tanto T-violar) debido a las interacciones débiles. Mi pregunta es simplemente acerca de la mecánica clásica.

Answer 1

Tienes razón en eso-si usted puede venir para arriba con un Newtoniano sistema que llega a un estado estacionario de un no-estacionario, entonces el sistema debe ser no determinista.

El punto (en la medida en que hay un punto aquí) es que esto no es tan fácil como parece suponer que es. La gran mayoría de suave Newtoniano sistemas puede llegar a cualquier estado estacionario, guardar, por haber estado en ella para siempre.

El valor de Norton de la Cúpula como un experimento de pensamiento es proporcionar una prueba de que hay Newtoniano sistemas que pueden llegar a un estado estacionario . Si usted puede definir otro sistema con esta propiedad, va a ser tan buena como la de la cúpula para hacer lo que el punto que de otra manera utilizar la cúpula a hacer.

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La (ligera) controversia que parece existir en torno a Norton de la Cúpula no es si la conclusión del experimento llega es la correcta, pero si se trata de una conclusión interesante para llegar a todo.

El contra-argumento pragmático es algo parecido a: Sí, sí, precisamente definido Newtoniano sistema no es necesariamente determinista, pero ¿por qué debería importarnos? Sabemos que nuestro mundo no funciona, precisamente, a lo largo de Newton, las líneas de todos modos, por lo que una deficiencia de la formulación matemática de la mecánica Newtoniana, que requiere de precisión infinita y por lo tanto, incluso antes de considerar los efectos cuánticos -- es imposible para la fabricación en la práctica no debería mantenernos arriba en la noche. Sería mucho mejor para saber, por ejemplo, si su favorito de la teoría cuántica de campos es matemáticamente consistente!

Como contrapunto a este Norton Cúpula sirve como una forma relativamente sencilla didáctica contraejemplo a la concepción popular de que "la mecánica clásica era agradable y determinista, pero con la teoría cuántica de repente tenemos que lidiar filosóficamente con el no determinismo. Oh, ¡ay de nosotros!" La cúpula ejemplo muestra que la Newtoniana imagen no necesariamente nos dan determinismo-y en realidad se puede dar una clase de no determinismo que es mucho peor que lo que la teoría cuántica, en las que ni siquiera nos proporcionan con cualquier forma de principios para asignar probabilidades a cuando un reposo de la masa en el ápice comenzará a deslizarse por la cúpula.

Answer 2

Estamos tratando todo el tiempo con sistemas en los que (posiblemente) reversible, pero efectivamente no deterministas: sistemas caóticos. En un sistema caótico, arbitrariamente un pequeño pertubation del estado inicial se puede volar a una gran discrepancia después de tiempo lo suficientemente largo. O, expresado de otro modo, para llegar a completamente diferentes estados finales que sólo necesita pequeñas pertubations en el estado inicial. Cómo de pequeño es determinado por el exponente de Lyapunov. Crucialmente, la cantidad necesaria de inicial pertubation disminuye exponencialmente al aumentar el intervalo de tiempo. Por lo tanto, si hacemos una secuencia de experimentos en los que se supone que presentan comportamientos coherentes sobre un intervalo de tiempo mayor, que tendría que tomar la preparación inicial exponencialmente más precisa con cada experimento. Eso es inviable (por las mismas razones por las que es factible emplear monos para escribir una novela); en este sentido, el experimento no es determinista / noncausal.

Como un ejemplo de una cúpula es excelente, pero no necesita ni siquiera ser Norton cúpula: normal cúpula semiesférica / péndulo invertido ya es impredecible en el sentido de que un cojinete de bolas de colocar "exactamente" en la parte superior, como sabemos por experiencia, rápidamente baje en algún lado, y no se podía predecir en que.
Todo lo que Norton a la cúpula de los cambios acerca de esto es que se reduce la cantidad necesaria de pertubation de "físicamente cero" (es decir, cero dentro de la incertidumbre de los límites) "matemáticamente cero". Básicamente, hace que el exponente de Lyapunov infinito en un solo punto de los giros que esto puede surgir a partir de un sistema que tiene a la vista que no obvia las singularidades, pero sólo se discontinuo, después de que dos de los derivados.

Ahora, los sistemas que macroscópicamente llegar a un estado estable, es decir, el equilibrio térmico, esencialmente hacerlo también por la razón de que el (microscópico) el comportamiento es caótico. Esto hace que un conjunto de determinado volumen en el espacio de fase – que por el teorema de Liouville no puede realmente cambiar – para, finalmente, obtener unta a una indistinguible de blobs de mucho mayor volumen, con lo que el aumento de la entropía.

En este sentido, sí, las propiedades matemáticas que causa noncausal comportamiento de Newton de la dinámica en los escenarios como Norton cúpula también son las que permiten macroscópicas de los sistemas para llegar a un estado estable a pesar de la reversibilidad de la dinámica microscópica.